2017-03-06

Mayerの式を２通りの証明で

よねすけ物理熱力学

こんにちは、よねすけです。

Mayerの式を2通りで示したいと思います。Mayerの式とは、理想気体の等圧モル比熱 $c_p$ 、等積モル比熱 $c_v$ との間に

$c_p-c_v=R$ の関係式が成り立つことを言います。ここで $R$ は気体定数です。

熱力学的関係式を用いる

これは至ってシンプルな計算により求まります。理想気体の等積過程を考えると外にする仕事はないので熱力学第一法則から

$\Delta U=\Delta Q$ となります。等積過程において $c_v=d'Q/dT$ とかけるのでこれより、 $\displaystyle c_v=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$ が分かります。
同様にして等圧過程において熱力学第一法則から $\displaystyle\Delta Q=\Delta U+p\Delta V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\Delta T+\left\{p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right\}\Delta V$ となります。 $c_p=d'Q/dT$ と $c_v=(\partial U/\partial T)_V$ を用いて、 $\displaystyle c_p=c_v+\left\{p+\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\right\}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p$ が分かります。
今考えるのは理想気体なので理想気体の状態方程式から $V=RT/p$ と書けます。また内部エネルギーは体積によらないと考えられるので $(\partial U/\partial V)_T=0$ となります。これより、 $\displaystyle c_p-c_v=p\left(\frac{\partial}{\partial T}\frac{RT}{p}\right)_p=R$ となり示されました。

Mayerのサイクルを用いる

もうひとつの証明方法としてMayerのサイクルと呼ばれるものを考える方法があります。Mayerのサイクルは自由断熱膨張、等圧過程、等積過程の3つの過程を合わせたものになっていて、下のような $P-V$ 図を描くことが出来ます。
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理想気体の状態方程式から状態1,2,3のそれぞれにおける温度は、 $p_1 V_1/R, p_2 V_2/R, p_2 V_1/R$ となります。
このサイクルの各過程間の内部エネルギーの変化を計算します。
状態1から状態2に移行する間の内部エネルギーの変化 $\Delta U_{1\to 2}$ は

$\displaystyle\Delta U_{1\to 2}=c_v\Delta T=\frac{c_v}{R}(p_2V_2-p_1V_1)$ になります。
状態2から状態3に移行する間の内部エネルギーの変化 $\Delta U_{2\to 3}$ について、熱力学第一法則を用いると $\displaystyle\begin{align} \Delta U_{2\to 3}&=\Delta Q-p\Delta V\\ &=c_p\Delta T-p_2(V_1-V_2)\\ &=\left(\frac{c_p}{R}-1\right)p_2(V_1-V_2) \end{align}$ です。
状態3から状態1に移行する間の内部エネルギーの変化 $\Delta U_{3\to 1}$ は、 $\displaystyle\Delta U_{3\to 1}=c_v\Delta T=\frac{c_v}{R}(p_1V_1-p_2V_1)$ です。
以上より各過程での内部エネルギーの変化が求まりました。この3つの変化を足し合わせれば状態1から状態1への内部エネルギーの変化が求まりますが、これは明らかに0です。故に、 $\displaystyle\begin{align} &\Delta U_{1\to2}+\Delta U_{2\to3}+\Delta U_{3\to1}=0\\ \Rightarrow &\frac{c_v}{R}(p_2V_2-p_1V_1)+\left(\frac{c_p}{R}-1\right)p_2(V_1-V_2)+\frac{c_v}{R}(p_1V_1-p_2V_1)=0\\ \Leftrightarrow&(c_p-c_v-R)(V_1-V_2)=0 \end{align}$ です。 $V_1\ne V_2$ を考えることによってMayerの式 $c_p-c_v=R$ を導くことに成功しました！！

このブログではある一つの命題について色んな角度から証明することを心がけています。今回も綺麗な証明を紹介出来たかなと思っています。また別の証明を知っているよ！！っていう方はぜひご一報ください！！

今回の証明にも久保先生の本を参考にさせて頂きました。

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それでは。

2017-03-05

ポアソンの式の一般化

よねすけ物理熱力学

こんにちは、よねすけです。

今回はポアソンの式の一般化を試みたいと思います。
そもそもポアソンの式とは、理想気体の断熱過程において圧力 $P$ と体積 $V$ が

$PV^{\gamma}=const.$ の関係で結ばれる式のことです。ここで $\gamma$ は等圧比熱 $c_p$ と等積比熱 $c_v$ を用いて、 $\displaystyle\gamma=\frac{c_p}{c_v}$ と表されます。
証明は熱力学第一法則を用います。すなわち内部エネルギーの変化 $\Delta U$ と与えられる熱量 $\Delta Q$ と仕事 $-P\Delta V$ の間には $\Delta U=\Delta Q-P\Delta V$ なる関係式があります。いまは断熱過程を考えるので与える熱量は $0$ です。また内部エネルギーは体積によらず温度のみによることが知られておりその変化 $\Delta U$ は等積比熱と温度 $T$ を用いて、 $\Delta U=c_v\Delta T$ と書けます。よって先ほどの式は $c_v\Delta T=-P\Delta V$ と書けます。理想気体の状態方程式 $PV=RT$ を代入すると $\displaystyle\begin{align} c_v\Delta T&=-\frac{RT}{V}\Delta V\\ \Leftrightarrow\frac{c_v}{R}\frac{\Delta T}{T}&=-\frac{\Delta V}{V} \end{align}$ となります。 $\Delta$ を $d$ に変えて両辺を積分すると、 $\displaystyle\begin{align} \frac{c_v}{R}\log T+\log V&=const.\\ \Leftrightarrow\log\left(TV^{\frac{R}{c_v}}\right)=const.\\ \Leftrightarrow TV^{\frac{R}{c_v}}=const. \end{align}$ です。ここでMayerの式 $c_p-c_v=R$ と上で導入した $\gamma$ を代入すると、 $TV^{\gamma-1}=const.$ がわかります。ここに理想気体の状態方程式を用いて温度 $T$ を消去することで、 $PV^{\gamma}=const.$ が示されました。

次にこれを一般の過程におけるものとしてこの保存量を求めてみましょう。一般の過程における比熱を $c_x$ とします。考える温度の範囲内で比熱が一定であるとすると、

$\Delta Q=c_x\Delta T$ となります。これを上と同じように熱力学第一法則の式に当てはめると、 $\displaystyle\begin{align} c_v\Delta T&=c_x\Delta T-P\Delta V\\ \Leftrightarrow(c_v-c_x)\Delta T&=-P\Delta V \end{align}$ となります。ポアソンの式の場合と同じように計算してやると、 $\displaystyle TV^{\frac{R}{c_v-c_x}}=const.$ となります。ここにMayerの式と理想気体の状態方程式を代入してやると、 $\displaystyle PV^{\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}}=const.$ となります。これが一般化されたポアソンの式です。体積 $V$ の肩にのっている数を $f$ と書けば、 $\displaystyle PV^f=const.,\ \ f=\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}$ となります。
この一般化されたポアソンの式を用いるといろいろな過程に関する比熱を求めることが出来ます。例えば断熱過程においては $f=\gamma$ なので $c_x=0$ です。等温過程においては理想気体の状態方程式から $PV=const.$ なので $c_x=\infty$ と考えることが出来ます。また等積、等圧変化の場合に $c_x$ がそれぞれ $c_v,c_p$ に一致することも確かめられます。

今回の記事を書くにあたっては下の本を参考にしました。

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それでは。

2017-02-19

not a cloud in the sky

よねすけバーゼル問題数学

こんにちは、よねすけです。

この前の木曜日かな、めっちゃ天気良くて授業始まる前に思わずパシャりと撮ってしまった写真。あまり天気の良さが伝わらんね笑
あと、後期の成績発表があって人生初のフル単でした！！！！めでたい！！！

そんなわけでバーゼル問題の証明を書きたいと思います。バーゼル問題に関してはこのブログでは扱うのが３回目ですね。いろんな証明があるのはやっぱり面白いですね。以前の記事については以下に貼っておきます。
otaku-of-suri.hatenablog.com
otaku-of-suri.hatenablog.com

今回バーゼル問題を扱う際に大事になるのは次の積分です。

$\displaystyle I=\int_{0}^{1}\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx$ まずはこの積分を変数変換を用いて値を求めましょう。 $x=\sin\theta$ と置くと、 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\theta}{\cos\theta}\cos\theta d\theta=\left[\frac{\theta^2}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^2}{8}$
これで積分値がわかりました。次にこの積分を級数展開しましょう。 $\displaystyle\arcsin x=\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}$ を用いると $\displaystyle\begin{align} I&=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}\int_{0}^{1}\frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}\theta d\theta \end{align}$ となります。最後の行は $x=\sin\theta$ の変数変換を行いました。ここで $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}\theta d\theta$ の積展開 $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}\theta d\theta=\frac{2\cdot\cdots 2n}{1\cdot3\cdot\cdots\cdot(2n+1)}$ を用いると、 $\displaystyle\begin{align} I&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}\frac{2\cdot\cdots 2n}{1\cdot3\cdot\cdots\cdot(2n+1)}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}\frac{2^n\cdot 2^n\cdot(n!)^2}{(2n)!}\frac{1}{2n+1}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} \end{align}$ となります。以上より $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$ がわかりました。今、求めたいバーゼル問題を $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\alpha$ とおけば、これを偶数と奇数に分けることによって $\displaystyle\begin{align} \alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2}\\ &=\frac{\pi^2}{8}+\frac{\alpha}{4} \end{align}$ より、この方程式を解くことで、 $\alpha=\pi^2/6$ がわかります。以上よりバーゼル問題 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ が示されました。

めっちゃテクニカルやけどかっこいい証明やと勝手に思ってます。

それでは。

2017-02-12

おもろい図形

よねすけ数学

こんにちは, よねすけです.
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円の中に一点を適当にとり, それを通る線分とそれに垂直な線分を上の図のようにとったとしましょう. このとき, 円の半径 $r$ を用いて

$a^2+b^2+c^2+d^2=4r^2$ となります. 図形に関する等式で個人的に一番好きなので今回紹介することにしました.

この式の証明をするために下のように補助線を引きます.
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線分 $QX$ は円の中心を通るように取るものとします. そうすると

$RS=PX$ が分かります. これは線分 $QX$ が中心を通る事から, 四角形 $PRSX$ が等脚台形であることが分かるからです. 線分 $PQ, RS$ は三平方の定理から, $PQ=\sqrt{a^2+b^2}, RS=\sqrt{c^2+d^2}$ です. 三角形 $PQX$ は直角三角形なのでまた三平方の定理を用いる事が出来て, $\begin{eqnarray} QX^2&=&PQ^2+PX^2=PQ^2+RS^2\\ \Leftrightarrow (2r)^2&=&(\sqrt{a^2+b^2})^2+(\sqrt{c^2+d^2})^2\\ \Leftrightarrow 4r^2&=&a^2+b^2+c^2+d^2 \end{eqnarray}$ が示されました.
とても綺麗な式ですね.

それでは.

[追記]
いろいろ突っ込まれそうなので一応書いておくとこの証明ははじめに取る点が円の中心と一致しないときに限り成立します. 円の中心に一致する時は, $a=b=c=d=r$ なので明らかに成り立ちますね. また円の中心でない点を取った場合には適当な回転を行えば上の図のように $a$ が $c$ よりも長く, $b$ が $d$ よりも短くなるようにすることができるので確かに問題ありません. 図形を用いて証明する場合はこういった面倒があるので大変ですね.

2017-02-11

判別式パート３

よねすけ代数学数学

こんにちは, よねすけです.

otaku-of-suri.hatenablog.com
以前３次方程式の判別式についてまとめました. 今回 $n$ 次方程式の特別な場合としての $x^n+px+q=0$ の判別式を求めることが出来たので以下に記しておきます.
判別式と微分の関係については高木貞治の本を参考にしました.

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判別式 $D$ は係数 $p,q$ の多項式で次のように表されます.

$\displaystyle D=\sum_{\alpha,\beta}\lambda_{\alpha,\beta}p^{\alpha}q^{\beta}$ $n$ 次方程式の判別式の重みは定義から ${}_nC_2\times 2=n(n-1)$ です. $p$ の重みは $n-1$ であり, $q$ の重みは $n$ なので, 重みについて以下の式 $\alpha (n-1)+\beta n=n(n-1)$ が成立します. 連続する２整数は互いに素であることを考えれば, $\alpha,\beta$ の値は, $(\alpha, \beta)=(n,0), (0,n-1)$ が分かります. これを用いて判別式を改めて書き直すと, $D=\lambda p^n+\mu q^{n-1}$ になります. 以下で $\lambda,\mu$ をそれぞれ求めて行きましょう.

$p=0, q=-1$ のとき

考える方程式は

$x^n-1=0$ になるのでこの方程式の解はすぐ求まって, $\displaystyle x=\exp\left(2\pi i\frac{k}{n}\right)\ (0\le k{<}n)$ です. これと判別式と微分の関係式を用いると, $\displaystyle \begin{eqnarray} D&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{k=0}^{n-1}f'\left(e^{2\pi i\frac{k}{n}}\right)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp\left(2\pi i\frac{n-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}k\right)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp(\pi i(n-1)^2)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1} \end{eqnarray}$ が分かりました. よって, $\displaystyle \begin{eqnarray} \mu(-1)^{n-1}&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1}\\ \Leftrightarrow\mu&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n \end{eqnarray}$ となります.

$p=-1, q=0$ のとき

考える方程式は

$x^n-x=x\left(x^{n-1}-1\right)$ なのでこの方程式の解は $\displaystyle x=0,\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\right)\ (0\le k{<}n-1)$ です. $x=0$ を除いた解のみから構成される判別式は一個上で求めた判別式の $n-1$ 次の場合にあたるのでそれを用いると $\displaystyle \begin{eqnarray} D&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^{n-2}\times\prod_{k=0}^{n-2}\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\times 2\right)\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp\left(4\pi i\frac{k}{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}k\right)\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp(2\pi i(n-2))\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n \end{eqnarray}$ がわかります. よって $\displaystyle \begin{eqnarray} \lambda(-1)^n&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\\ \Leftrightarrow\lambda&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1} \end{eqnarray}$ となります.

以上から $n$ 次方程式 $x^n+px+q=0$ の判別式は

$\displaystyle D=(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}p^n+(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^nq^{n-1}$ これは確かに以前求めた３次方程式の判別式にも一致することはすぐに確かめられます.以下のリンクの通りです.
otaku-of-suri.hatenablog.com

それでは.

2017-02-10

後期の振り返りするで。

よねすけ

こんにちは、よねすけです。

後期のテストも随分前に終わって春休みに入っているのに振り返りをするのを忘れていたなあ、ということで振り返りを書きます。

応用代数学（月曜２限）
群論の基本的な内容と表現論の初歩の内容を授業で扱いました。丁寧に授業を運んでくれたので特に躓くことなく理解できたと思いました。試験は授業で行った証明などを実際に書かせる問題が多かったです。

言語・オートマトン（月曜３限）
DFA, NFA, εNFA, PDA, NPDA, TMなどを扱いました。この授業は再履修して取った授業ですが実に面白かったと思います。試験は２回の小テストから出題されるのでテスト勉強はしやすかったです。

アルゴリズムとデータ構造入門（月曜４限）
これも再履修で取った授業です。一回生の時に未受験で落としてしまったので３回生になって取りましたが、Schemeを書くこともなくアルゴリズムをいろいろと紹介されました。本当は自分で実装したほうが良いのだろうなと思いました。

生命情報学（火曜５限）
生命情報学に関することをいろいろスライド授業で学びました。下の図はPyMOLを用いてDNAの２重螺旋を横から見た様子です。成績評価はレポート２回で行われるそうです。
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パターン認識と機械学習（水曜２限）
パターン認識と機械学習はパターン認識と機械学習について学びました。なんだか勉強がしにくかったです。。。試験はプリントに載っていることをきちんと理解すれば解ける問題は解ける気がします。

線形制御理論（水曜３限）
フィードバック系について偏差をどのように小さくするかについて（？）学びました。過去問５年分をやったのに思ってたのとは違うのが出てきて辛かったです。成績評価はレポートと試験で行われるそうです。８回以上レポートを出せば単位を落とすことはないらしいです（？）。

アルゴリズム論（木曜２限）
チューリングマシンの話題を中心に問題の可解、非可解性やP≠NP問題に関することを扱いました。授業は面白いのですが実際に問題を解くとなると地頭ゲーになってくるのがしんどいですね。レポート２回と試験で成績評価するそうです。

数理工学セミナー（金曜２限）
グレブナ基底と代数多様体について扱いました。

グレブナ基底と代数多様体入門・上

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ゼミ形式でこの本を読み進めて、ヒルベルトの零点定理まで進みました（最後のゼミはインフルエンザで出ることが出来なかった。残念）。

2017-01-28

正則言語

よねすけ数学計算理論

こんにちは, よねすけです.

正則言語

正則言語とは正則表現で表される言語のことです. 同値な表現方法として以下があります.

決定性有限状態オートマトン( ${\rm DFA}$ )で表される言語
非決定性有限状態オートマトン( ${\rm NFA}$ )で表される言語
$\varepsilon$ 遷移非決定性有限状態オートマトン( $\varepsilon-{\rm NFA}$ )で表される言語

すなわち上の4つの表現方法はいずれも能力として等価であるということです.

正則言語の閉包性

正則言語には閉包性という性質があります. 具体的には正則言語 $L_1,L_2$ について,

$\overline{L_1}$ は正則言語
$L_1\cup L_2$ は正則言語
$L_1\cap L_2$ は正則言語

などです. それぞれ証明しましょう.

証明

$L_1$ は正則言語なのである ${\rm DFA} A$ で認識される言語です. $A=(Q,\sum,\delta,q_0,F)$ として, 次のオートマトン $B$ を考えます. $B=(Q,\sum,\delta,q_0,Q-F)$ とすると, 受理状態と非受理状態が綺麗に入れ替わることが分かるので $L(B)=\overline{L_1}$ となり, $\overline{L_1}$ も ${\rm DFA}$ で受理できることが分かりました. よって $\overline{L_1}$ も正則言語です.
$L_1,L_2$ は正則言語なのである正則表現 $R_1,R_2$ を用いて, $L_1=L(R_1),L_2=L(R_2)$ と書くことが出来ます. このとき正則表現の書き方から $L(R_1+R_2)$ は $L_1\cup L_2$ と一致することが分かります. よって正則言語の和集合もまた正則表現になることが分かります.
$L_1\cap L_2=\overline{\overline{L_1}\cup\overline{L_2}}$ がド・モルガンの公式から分かるので上に証明したことから正則言語の積集合もまた正則言語であることが分かります.