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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

クリストッフェル記号の変換則

よねすけ 数学

こんにちは、よねすけです。

今回はクリストッフェル記号の変換について。
クリストッフェル記号とは、

\displaystyle\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}=\frac{1}{2}g^{\alpha\mu}(\frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x^{\gamma}}+\frac{\partial g_{\mu\gamma}}{\partial x^{\beta}}-\frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial x^{\mu}})

このときに\displaystyle\{x^{\mu}\}\to\{x^{\mu'}\}への座標変換を考えたときにクリストッフェル記号についても\displaystyle\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\to\Gamma^{\mu'}_{\alpha'\beta'}の変換がわかるようにしたい。
(ダッシュ付きの添え字で変換後のものを表すことにする。)
一般にクリストッフェル記号の変換則は以下であることが知られている。
\displaystyle\Gamma^{\mu'}_{\alpha'\beta'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}\partial x^{\beta'}}

よく見れば右辺の第一項はテンソルの変換則に従っているので良いのだがおまけの項が後ろについてしまっている。これからわかるようにクリストッフェル記号はテンソルではない。
実際にこの変換則を導出していきたいのだが、普通にやってしまうと膨大な計算量になる。というのはクリストッフェル記号には計量テンソルが含まれており、例えば
\displaystyle g_{\alpha'\beta'}=\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\beta'}}g_{\alpha\beta}

であり、これに偏微分を施すと積の微分法から項が3つになり、、、、(この偏微分も座標変換した後のもの!!)
みたいなことをしていくのだが、さすがにやりたくない(やったことない)。なのでここではちょっとだけ楽になる方法を書きたいと思う。
共変微分\boldsymbol{\nabla}_{\beta}で表すことにすると、基底ベクトル\boldsymbol{e}_{\alpha}を共変微分したものは
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}_{\beta}\boldsymbol{e}_{\alpha}=\boldsymbol{e}_{\mu}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}

である。
座標変換した後のものを考えれば
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}_{\beta'}\boldsymbol{e}_{\alpha'}=\boldsymbol{e}_{\mu'}\Gamma^{\mu'}_{\alpha'\beta'}

であるからこれらを比較すればクリストッフェル記号の変換則が導けそうである。
基底ベクトルの変換則
\displaystyle\boldsymbol{e}_{\alpha'}=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\boldsymbol{e}_{\alpha}

と、共変微分の変換則
\displaystyle\boldsymbol{\nabla}_{\beta'}=\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\boldsymbol{\nabla}_{\beta}

を用いて変換後のものに代入していく。
 \begin{eqnarray} 
                       \displaystyle\boldsymbol{\nabla}_{\beta'}\boldsymbol{e}_{\alpha'}&=&\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\boldsymbol{\nabla}_{\beta}\left(\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\boldsymbol{e}_{\alpha}\right)\\
&=&\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\{\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}(\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}})\boldsymbol{e}_{\alpha}+\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\boldsymbol{e}_{\mu}\}\\
&=&\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\{\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}(\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}})\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\boldsymbol{e}_{\mu'}+\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\boldsymbol{e}_{\mu'}\}\\
&=&\{\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\underline{\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\frac{\partial}{\partial x^{\beta}}(\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}})}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\}\boldsymbol{e}_{\mu'}\\
&=&\{\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\underline{\frac{\partial}{\partial x^{\beta'}}(\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}})}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\}\boldsymbol{e}_{\mu'}\\
&=&\{\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\underline{\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}\partial x^{\beta'}}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\}\boldsymbol{e}_{\mu'}\\
      \end{eqnarray}

この右辺が\displaystyle\boldsymbol{e}_{\mu'}\Gamma^{\mu'}_{\alpha'\beta'}と一致するので
\displaystyle\Gamma^{\mu'}_{\alpha'\beta'}=\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}\partial x^{\beta'}}

が示された。

まあこういうものもあるんだよ、という感じです。
それでは