クリストッフェル記号の変換則パート2
こんにちは、よねすけです。
今日は2次試験二日目ですね。受験生の方は今日くらいゆっくり休んで下さい(受験生このブログ読んでなさそう)。
以前クリストッフェル記号の変換則について書きました。
otaku-of-suri.hatenablog.com
その時はすっきりと変換則を求める方法を書いたんですけど、そのあとややこしい方法でやってみたら出来たんで一応ここに記すことにします。
前回と同じ問題設定を考えます。
これがクリストッフェル記号で、これをの変換に従って
と変換することを考えます。
まず計量テンソルの変換は
なのでこれの偏微分は
になります。同様に考えると(添え字を入れ替えていく)、
です。ただし、偏微分の順序交換と計量テンソルの対称性から3つめの式は
と書けます。
また
なので、これをはじめの式に代入していきましょう。
について、第1項は
になります。この中の第1項は
になります。第2項は
になります。第3項は
これでクリストッフェル記号の第1項の計算が終わりました。クリストッフェル記号の第2項は同様の計算でできます(添え字を変える)。
最後にクリストッフェル記号の第3項は
ですが、この中の第1項は
第2項は
すべて計算ができました!!あとは足し合わせるだけです。
よってクリストッフェル記号の変換則
以上です。どちゃくそ計算がめんどくさいですね。