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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

数学のメモその2

前回に続き\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}の証明を書きたいと思います。
〜2重積分を用いる〜
この証明は2重積分

\begin{eqnarray}
I=\int_0^1\int_0^1\frac{1}{1-xy}dxdy
\end{eqnarray}

の値を2通リに求めることからわかります。1つ目は\displaystyle\frac{1}{1-xy}を等比級数\sum_{n\ge 0}(xy)^nに展開することです。
\begin{eqnarray}
I&=&\int_0^1\int_0^1(xy)^ndxdy=\sum_{n\ge 0}\int_0^1\int_0^1x^ny^ndxdy\\
&=&\sum_{n\ge 0}\left(\int_0^1x^ndx\right)\left(\int_0^1y^ndy\right)=\sum_{n\ge 0}\frac{1}{n+1}\frac{1}{n+1}\\
&=&\sum_{n\ge 0}\frac{1}{(n+1)^2}=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\zeta(2)
\end{eqnarray}

Iの2つ目の計算方法は変数変換です。
\displaystyle u=\frac{y+x}{2},\ v=\frac{y-x}{2}

と変数変換します。するとx=u-v,y=u+vより
\displaystyle\frac{1}{1-xy}=\frac{1}{1-u^2+v^2}

である。またヤコビアン2である。
f:id:otaku_of_suri:20160703141457p:plain
変数変換後の積分領域は上の図の色がけ部であるから\displaystyle u\le \frac{1}{2}\displaystyle u\ge \frac{1}{2}に分けて積分する。またvに関して対称であることも考慮すると
\begin{eqnarray}
I&=&4\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\int_0^u\frac{dv}{1-u^2+v^2}\right)du+4\int_{\frac{1}{2}}^1\left(\int_0^{1-u}\frac{dv}{1-u^2+v^2}\right)du\\
&=&4\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\right)du\\
&&+4\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\arctan\left(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}\right)du
\end{eqnarray}

となります。ここで\displaystyle\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+Cを用いました。
ここでu=\sin\thetaとおくと、\displaystyle\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\thetaであるから結局、\displaystyle\arctan{\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}}=\arcsin uとなります。
またu=\cos\thetaとおくと、\displaystyle\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}}=\tan\frac{\theta}{2}であるから結局、\displaystyle\arctan{\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}}=\frac{1}{2}\arccos uとなります。よって、
\displaystyle I=4\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{\arcsin u}{\sqrt{1-u^2}}du+2\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{\arccos u}{\sqrt{1-u^2}}du

がわかります。ここで第1項の積分についてはu=\sin\theta、第2項の積分についてはu=\cos\thetaと変数変換すると
\begin{eqnarray}
I&=&4\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{\theta}{\cos\theta}\cos\theta d\theta+2\int_{\frac{\pi}{3}}^{0}\frac{\theta}{\sin\theta}(-\sin\theta)d\theta\\
&=&4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\theta d\theta+2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\theta d\theta\\
&=&4\left[\frac{\theta^2}{2}\right]^{\frac{\pi}{6}}_{0}+2\left[\frac{\theta^2}{2}\right]^{\frac{\pi}{3}}_{0}\\
&=&4\frac{1}{2}\frac{\pi^2}{36}+2\frac{1}{2}\frac{\pi^2}{9}=\frac{\pi^2}{6}
\end{eqnarray}
となります!!!以上より
\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}

が示されました。

あと1つ証明があるのでそれはまた今度ということで。

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