弾性体の振動の縦波と横波 - オタクof数理の共同ブログ

よねすけです。振動波動論の試験で弾性体の振動に関する問題が出て勉強してなくて全く分かりませんでした。つらい。。。

弾性体中の座標ベクトル $\textbf{r}$ の点の、時間 $t$ における変位を $\textbf{u}(\textbf{r},t)$ とすると、弾性体の振動の方程式は

$\displaystyle\rho\partial^2_{t}\textbf{u}=\frac{E}{2(1+\mu)}\left[\nabla^2\textbf{u}+\frac{1}{1-2\mu}\nabla(\nabla\cdot\textbf{u})\right]$
で与えられます。ここで $\rho$ は弾性体の密度、 $E$ はヤング率、 $\mu$ はポアソン比です。(いずれも定数、 $\displaystyle 0<\mu<\frac{1}{2}$ )

定ベクトル $\textbf{u}_0$ を用いて $\displaystyle\textbf{u}\left(\textbf{r},t)=\textbf{u}_0{\rm exp}(i(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega_k t)\right)$ と書けたとします。これを先の振動の式に代入して整理すると

$\displaystyle\rho\omega_k^2\textbf{u}_0=\frac{E}{2(1+\mu)}\left[k^2\textbf{u}_0+\frac{1}{1-2\mu}\textbf{k}(\textbf{k}\cdot\textbf{u}_0)\right]$
が得られます。
縦波の場合、すなわち考える波の進行方向と媒質の振動方向が平行な場合、
$\textbf{k}\parallel\textbf{u}_0$
が言えます。 $\textbf{k}(\textbf{k}\cdot\textbf{u}_0)=k^2\textbf{u}_0$ を代入すれば
$\displaystyle\rho\omega_k^2\textbf{u}_0=\frac{E}{2(1+\mu)}\left[k^2\textbf{u}_0+\frac{k^2}{1-2\mu}\textbf{u}_0\right]$
です。縦波の速さを $v_l$ とおくと $\omega_k=v_l k$ なので
$\displaystyle v_l=\sqrt{\frac{(1-\mu)E}{(1+mu)(1-2\mu)\rho}}$
が分かりました。

横波の場合、すなわち考える波の進行方向と媒質の振動方向が垂直な場合、

$\textbf{k}\cdot\textbf{u}_0=0$
が言えます。
$\displaystyle\rho\omega_k^2\textbf{u}_0=\frac{E}{2(1+\mu)}k^2\textbf{u}_0$
横波の速さを $v_t$ とおくと $\omega_k=v_t k$ なので
$\displaystyle v_l=\sqrt{\frac{E}{2(1+mu)\rho}}$
が分かりました。

縦波、横波の速さを比較してみましょう。

$\displaystyle\begin{eqnarray} \left(\frac{v_l}{v_t}\right)^2&=&\frac{(1-\mu)E}{(1+\mu)(1-2\mu)\rho}\frac{2(1+\mu)\rho}{E}\\ &=&1+\frac{1}{1-2\mu}\\ &>&2 \end{eqnarray}$
これより、 $v_l>\sqrt{2}v_t$ が分かります。
地震のP波 $(=v_l)$ の速さはおよそ $5\sim 7km/s$ 、地震のQ波 $(=v_t)$ の速さはおよそ $3\sim 4km/s$ と言われているそうなのでだいたい一致していますね。

それでは。