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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

円筒座標系におけるrotの表示

夏休みいかがお過ごしでしょうか。よねすけです。
今日は成績発表でしたね。僕は一科目だけ落としてたので異議申し立てするか迷っています。

今回は円筒座標系におけるrotがどう表されるかについて書きたいです。(だいぶ昔の)ゼミの教科書で当たり前のように出てきてびっくりしました。

まず、ユークリッド座標系でのベクトルは円筒座標系ではどのように表されるのでしょうか。
計算の方法としては直交座標\{x,y,z\}から円筒座標\{\rho,\phi,z\}への変数変換を考えます。

\begin{eqnarray}
x&=&\rho\cos\phi\\
y&=&\rho\sin\phi\\
z&=&z\\
\end{eqnarray}

それぞれの座標系での基底ベクトルを定めます。直交座標については、
 {\boldsymbol e}_x=
\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right),{\boldsymbol e}_y=
\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right),{\boldsymbol e}_z=
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)

円筒座標については、
 {\boldsymbol e}_{\rho}=
\left(
\begin{array}{c}
\rho\cos\phi\\
\rho\sin\phi\\
0
\end{array}
\right),{\boldsymbol e}_{\phi}=
\left(
\begin{array}{c}
{-}\rho\sin\phi\\
\rho\cos\phi\\
0
\end{array}
\right),{\boldsymbol e}_z=
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)

ただしこれらベクトルは直交座標ののるものとします。
このとき適当なベクトル{\boldsymbol A}このような式を考えることができます。
 {\boldsymbol A}=A_{x}{\boldsymbol e}_{x}+A_{y}{\boldsymbol e}_{y}+A_{z}{\boldsymbol e}_{z}=A_{\rho}{\boldsymbol e}_{\rho}+A_{\phi}{\boldsymbol e}_{\phi}+A_{z}{\boldsymbol e}_{z}

{\boldsymbol e}_{x},{\boldsymbol e}_{y},{\boldsymbol e}_{z}は互いに直交することに注意すれば、
A_{x}=A_{\rho}{\boldsymbol e}_{\rho}\cdot{\boldsymbol e}_{x}+A_{\phi}{\boldsymbol e}_{\phi}\cdot{\boldsymbol e}_{x}

であり、
\begin{eqnarray}
{\boldsymbol e}_{\rho}\cdot{\boldsymbol e}_{x}&=&\cos \phi\\
{\boldsymbol e}_{\phi}\cdot{\boldsymbol e}_{x}&=&-\sin \phi
\end{eqnarray}

を用いれば、
A_{x}=A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phiとなる事が分かります。A_{y}=A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phiも同様に示せます。
よって、
 {\boldsymbol A}=
\left(
\begin{array}{c}
A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phi\\
A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phi\\
A_{z}\\
\end{array}
\right)

がわかりました。

次に
{\boldsymbol \nabla}={\boldsymbol e}_{x}\partial_{x}+{\boldsymbol e}_{y}\partial_{y}+{\boldsymbol e}_{z}\partial_{z}を円筒座標系で表示する事を考えます。
これは極座標の場合と同じで、

\begin{eqnarray}
\partial_{\rho}&=&\cos \phi \partial_{x} +\sin \phi \partial_{y}\\
\partial_{\phi}&=&-r\sin \phi \partial_{x}+r\cos \phi \partial_{y}
\end{eqnarray}

より、
\begin{eqnarray}
\partial_{x}&=&\cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\
\partial_{y}&=&\sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi}
\end{eqnarray}

が言えるので、
{\boldsymbol \nabla}=
\left(
\begin{array}{c}
\cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\
\sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi}\\
\partial_{z}\\
\end{array}
\right)

がわかります。
以上より、
\begin{eqnarray}
{\boldsymbol \nabla} \times {\boldsymbol A}&=&\left(
\begin{array}{c}
\partial_x\\
\partial_y\\
\partial_{z}\\
\end{array}
\right)\times\left(
\begin{array}{c}
A_x\\
A_y\\
A_z\\
\end{array}
\right)\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\
\sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi}\\
\partial_{z}\\
\end{array}
\right)\times\left(
\begin{array}{c}
A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phi\\
A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phi\\
A_{z}\\
\end{array}
\right)\\
\end{eqnarray}

これを各成分について計算して整理すると、(ここは計算が煩雑なので省略しました)
\begin{eqnarray}
{\boldsymbol \nabla}\times{\boldsymbol A}=\left(\frac{1}{\rho}\partial_{\phi}A_z-\partial_zA_{\phi}\right){\boldsymbol e}_{\rho}+(\partial_zA_{\rho}-\partial_{\rho}A_z){\boldsymbol e}_{\phi}+\frac{1}{r}(\partial_{\rho}(\rho A_{\rho})-\partial_{\phi}A_{\rho}){\boldsymbol e}_{z}
\end{eqnarray}

がわかります。z方向については直交座標と何も変わらないので{\boldsymbol \nabla},{\boldsymbol A}z方向については何も計算しなくても良かったですね。最後の計算がほんまにめんどくさいです。
それでは。