オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

面白い積分

こんにちは,よねすけです.
今回は最近目にした面白い積分について書きます.

\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}

タンジェントの肩に\sqrt{2}が乗っているので一瞬びっくりしてしまうのですが,これは実は見掛け倒しのもので別にe,\piでも何でも良いことが分かります.あ,あとこの積分は広義積分になりますが,きちんと収束するので安心して下さい.

実際に解きましょう.このIを求める前に,一旦x\mapsto y=\pi/2-xと変数変換されたI'を求めてみましょう.

\displaystyle
\begin{eqnarray}
I'&=&\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-{\rm d}y}{1+\frac{1}{\tan^{\sqrt{2}}y}}\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}y}{1+\tan^{\sqrt{2}}y}{\rm d}y\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x
\end{eqnarray}

I'Iに変数変換を施したものなので積分の値は変わりません.これを用いると

\displaystyle
\begin{eqnarray}
2I&=&I+I'\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\
&=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}x\\
&=&\frac{\pi}{2}
\end{eqnarray}

が分かりました.以上より,

\displaystyle I=\frac{\pi}{4}

となります.こんな感じの変数変換を施して積分結果が得られるものとしてこれもありますね.

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x{\rm d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x{\rm d}x=\frac{\pi}{4}

それでは

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