オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

楕円の極座標表示

こんにちは,よねすけです.
今回は楕円の極座標表示の方法について書いてみたいと思います.

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x^2/a^2+y^2/b^2=1(a\ge b>0)で表される楕円を書いてみました.このとき焦点はe=\sqrt{1-(b/a)^2}を用いて,F(ea,0),F'(-ea,0)と書けます。
このような楕円があったときに,極座標においての原点を点Fとして図のように考える点と原点との距離をr,始線(この場合x軸のx\ge ea)からの偏角\thetaとします.
(x,y)Aと名付け,三角形AFF'について考えます.余弦定理を用いると

(r')^2=r^2+(2ea)^2-2\times r\times 2ea\times\cos(\pi-\theta)

が分かります.また楕円の作図の仕方から

r+r'=2a

も分かります.この2式を連立させて解くと,

\displaystyle r=\frac{b^2}{a(1+e\cos\theta)}

が分かります.点Aの座標を極座標変換してそれを楕円の方程式に代入して,,,とやっていくよりは少しは計算量が減る気がします.

それでは.

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