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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

三角関数に関する不等式

こんにちは,よねすけです.

今回は三角関数に関する不等式を示したいとおもいます.三角形ABCの角A,角B,角Cについて

\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}

となります.これを面白い方法で示してみましましょう(受験数学では有名な手法なので読者の皆さんは知っていることかも知れませんが,,,).

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上のような図を書いてみました.y=\sin xの上に角A,角B,角Cを載せてみましょう.そうするとその3点から三角形が作られますが,[0,\pi]においてy=\sin xは凸関数なので三角形は正弦波はその下に潜り込む形になります.その三角形の重心Gを考えると三角形の重心は必ずその内部にあるのでy座標の大小を比較すれば以下の式が成立します.

\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)

A,B,Cは三角形の角なのでA+B+C=\piなのでそれを代入すれば

\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}

が得られました.しかしこれは三角形の角がすべて異なるときにしか成り立ちません.二等辺三角形や正三角形の場合は別に考えないと行けません.正三角形の場合は等号が成立するので大丈夫です.二等辺三角形の場合は三角形が線分になりますが線分を2:1に分ける点と3点の平均となる点が一致するので同様に上の式が成り立つことが分かります.以上より

\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}

が示されました.またこの式から

\displaystyle\sin A\sin B\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{8}

も分かります.これは相加平均相乗平均に関する不等式を用いると

\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin A+\sin B+\sin C\ge 3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}

なので左辺と右辺を3で割り,3乗すると示されます.三角関数に関する不等式は色々な証明方法が知られているので面白いですね.

それでは.