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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

自分で問題を作ってみたけれど...

よねすけ 数学

おはこんばんにちは、よねすけです.
最近いろんな先生のホームページを見るのにはまっていて,そうしたら大体の先生が研究の事とかをブログに書いていることを知ったので,自分もこれからも続けていこうと思いました(なんの報告やねん).

この前授業始まる前に友達と喋ってたら,「問題出してや」って言われたから作った(?)のが下の問題

\displaystyle\sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}

この値を求めよっていう問題を出したけど自分と思ってたんと違う解き方をされてう〜〜ってなった.

自分の想定してた解答

\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}

となるから(!!),これをルートの中にぶち込んだら

\displaystyle
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}&=&\sum_{n=1}^{2016}\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\\
&=&\sum_{n=1}^{2016}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=&2016+\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\right\}\\
&=&2017-\frac{1}{2017}
\end{eqnarray}

となって答えが出ました!!この解法のミソは

n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2

因数分解が出来るか,ってところやったけど友達はn=1から順番に代入して実験的にこの式を得ていた...まあ実験するよな...って自分でも思ったけど笑

「高校生でも出来そうな問題やな」みたいな話をしてて,これを大学チックな問題に改良出来へんかなって思ってこれを一般のnまでの和にして先と同じことをしてやると,

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=n+1-\frac{1}{n+1}

になるから十分大きなnでこの式はO(n)って事が分かるから,

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}}{n}=1

っていう問題が出来たやん!!👍

って喜んでたんやけど,これどっかで見たことあるな...って思って

\displaystyle a_n:=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}

っておいてやると

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}a_n=1

ってなって一瞬で解けてまうやんけ...ってなりましたね(泣)

最後の式変形がわからない人は
otaku-of-suri.hatenablog.com
を見てください.

問題を作るのってこんなに難しいんか...って思った出来事でした.

それでは