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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

愛情の数学

cajihara 数学

こんにちは.かじはらです.
クリスマスが近いので愛にまつわる数学の話をしたいと思います.

以前よねすけくんが無理数無理数乗が有理数になる,という話をしていました.

otaku-of-suri.hatenablog.com

では複素数複素数乗が実数になることはあるのでしょうか?

まずは複素数複素数乗を定義しなければなりません.

{
\begin{align*}
&z,w \in \mathbb{C}\\
&z^w = e^ {\log{z^w}} = e^{w \log z}
\end{align*}
}

対数を使って定義するんでしたね.
複素数対数がどのように定義されていたかもついでにおさらいしておきましょう.

{
\begin{align*}
\log z
&= \log re^{i \theta}\\
&= \log r + \log e^{i \theta}\\
&= \log r + i \theta + 2 \pi n i
\end{align*}
}

複素数対数は一意に値が定まらない多価関数になるんでしたね.

前回も虚数の話をしたので話題が重複してしまって申し訳ありませんが,今回も虚数に登場してもらいましょう.

{ \displaystyle
i^i
}
これはまさしく複素数複素数乗の一種です.これを上の定義に則って計算してみましょう.

{
\begin{align*}
i^i
&= e^{\log{i^i}}\\
&= e^{i \log i}\\
&= e^{i \log e^{\frac{\pi}{2}i}}\\
&= e^{i \log e^{(\frac{\pi}{2}+ 2n \pi)i}}\\
&= e^{-(\frac{\pi}{2}+ 2n \pi)}
\end{align*}
}

よくわからない式がでてきました.これではどんな値が具体的にはわからないですね.
しかしここで注目すべきはそこではありません.よく見てください.

なんと虚数が消えています!!!!!!!!!

計算結果は実数の実数乗の形をしているので,具体的な値はわからずともこの値が実数であることは確かです.

つまり,

愛(i)の愛情(i乗)は実数になる!!!!!!!



え…?愛にまつわる数学ってこれ…?ここにきてダジャレ…?ダジャレなの…?

という声が聞こえてきそうですね.

(調べたところ「i^i乗」というwikipediaの項目もあるぐらいなのでかなり有名な話っぽいですが,
高1の時にこの事実を知って以来お気に入りの数学小話(?)のひとつなので,どうしても書きたかったのです.)


次回は,

高校数学の試験で「{a_{n+1}=f(a_n)}の数列の極限を求めよ.」という形式の問題が出された時,{\alpha = f(\alpha)}を解いて{\alpha}極限値として答えを求める方法がなぜダメなのか?

について考察します.(かじはらの気分が年明けあたりまで変わらなければ.)

おしまい.

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