読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

判別式パート3

こんにちは, よねすけです.

otaku-of-suri.hatenablog.com
以前3次方程式の判別式についてまとめました. 今回n次方程式の特別な場合としてのx^n+px+q=0の判別式を求めることが出来たので以下に記しておきます.
判別式と微分の関係については高木貞治の本を参考にしました.

代数学講義 改訂新版

代数学講義 改訂新版


判別式Dは係数p,q多項式で次のように表されます.

\displaystyle D=\sum_{\alpha,\beta}\lambda_{\alpha,\beta}p^{\alpha}q^{\beta}
n次方程式の判別式の重みは定義から
{}_nC_2\times 2=n(n-1)
です. pの重みはn-1であり, qの重みはnなので, 重みについて以下の式
\alpha (n-1)+\beta n=n(n-1)
が成立します. 連続する2整数は互いに素であることを考えれば, \alpha,\betaの値は,
(\alpha, \beta)=(n,0), (0,n-1)
が分かります. これを用いて判別式を改めて書き直すと,
D=\lambda p^n+\mu q^{n-1}
になります. 以下で\lambda,\muをそれぞれ求めて行きましょう.

  • p=0, q=-1のとき

考える方程式は

x^n-1=0
になるのでこの方程式の解はすぐ求まって,
\displaystyle x=\exp\left(2\pi i\frac{k}{n}\right)\ (0\le k{<}n)
です. これと判別式と微分の関係式を用いると,
\displaystyle
\begin{eqnarray}
D&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{k=0}^{n-1}f'\left(e^{2\pi i\frac{k}{n}}\right)\\
&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp\left(2\pi i\frac{n-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}k\right)\\
&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp(\pi i(n-1)^2)\\
&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1}
\end{eqnarray}
が分かりました. よって,
\displaystyle
\begin{eqnarray}
\mu(-1)^{n-1}&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1}\\
\Leftrightarrow\mu&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n
\end{eqnarray}
となります.

  • p=-1, q=0のとき

考える方程式は

x^n-x=x\left(x^{n-1}-1\right)
なのでこの方程式の解は
\displaystyle x=0,\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\right)\ (0\le k{<}n-1)
です. x=0を除いた解のみから構成される判別式は一個上で求めた判別式のn-1次の場合にあたるのでそれを用いると
\displaystyle
\begin{eqnarray}
D&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^{n-2}\times\prod_{k=0}^{n-2}\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\times 2\right)\\
&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp\left(4\pi i\frac{k}{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}k\right)\\
&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp(2\pi i(n-2))\\
&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n
\end{eqnarray}
がわかります. よって
\displaystyle
\begin{eqnarray}
\lambda(-1)^n&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\\
\Leftrightarrow\lambda&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}
\end{eqnarray}
となります.

以上からn次方程式x^n+px+q=0の判別式は

\displaystyle D=(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}p^n+(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^nq^{n-1}
これは確かに以前求めた3次方程式の判別式にも一致することはすぐに確かめられます.以下のリンクの通りです.
otaku-of-suri.hatenablog.com

それでは.

広告を非表示にする