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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

ポアソンの式の一般化

よねすけ 物理 熱力学

こんにちは、よねすけです。

今回はポアソンの式の一般化を試みたいと思います。
そもそもポアソンの式とは、理想気体の断熱過程において圧力Pと体積V

PV^{\gamma}=const.
の関係で結ばれる式のことです。ここで\gammaは等圧比熱c_pと等積比熱c_vを用いて、
\displaystyle\gamma=\frac{c_p}{c_v}
と表されます。
証明は熱力学第一法則を用います。すなわち内部エネルギーの変化\Delta Uと与えられる熱量\Delta Qと仕事-P\Delta Vの間には
\Delta U=\Delta Q-P\Delta V
なる関係式があります。いまは断熱過程を考えるので与える熱量は0です。また内部エネルギーは体積によらず温度のみによることが知られておりその変化\Delta Uは等積比熱と温度Tを用いて、
\Delta U=c_v\Delta T
と書けます。よって先ほどの式は
c_v\Delta T=-P\Delta V
と書けます。理想気体の状態方程式PV=RTを代入すると
\displaystyle\begin{align}
c_v\Delta T&=-\frac{RT}{V}\Delta V\\
\Leftrightarrow\frac{c_v}{R}\frac{\Delta T}{T}&=-\frac{\Delta V}{V}
\end{align}
となります。\Deltadに変えて両辺を積分すると、
\displaystyle\begin{align}
\frac{c_v}{R}\log T+\log V&=const.\\
\Leftrightarrow\log\left(TV^{\frac{R}{c_v}}\right)=const.\\
\Leftrightarrow TV^{\frac{R}{c_v}}=const.
\end{align}
です。ここでMayerの式
c_p-c_v=R
と上で導入した\gammaを代入すると、
TV^{\gamma-1}=const.
がわかります。ここに理想気体の状態方程式を用いて温度Tを消去することで、
PV^{\gamma}=const.
が示されました。

次にこれを一般の過程におけるものとしてこの保存量を求めてみましょう。一般の過程における比熱をc_xとします。考える温度の範囲内で比熱が一定であるとすると、

\Delta Q=c_x\Delta T
となります。これを上と同じように熱力学第一法則の式に当てはめると、
\displaystyle\begin{align}
c_v\Delta T&=c_x\Delta T-P\Delta V\\
\Leftrightarrow(c_v-c_x)\Delta T&=-P\Delta V
\end{align}
となります。ポアソンの式の場合と同じように計算してやると、
\displaystyle TV^{\frac{R}{c_v-c_x}}=const.
となります。ここにMayerの式と理想気体の状態方程式を代入してやると、
\displaystyle PV^{\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}}=const.
となります。これが一般化されたポアソンの式です。体積Vの肩にのっている数をfと書けば、
\displaystyle PV^f=const.,\ \ f=\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}
となります。
この一般化されたポアソンの式を用いるといろいろな過程に関する比熱を求めることが出来ます。例えば断熱過程においてはf=\gammaなのでc_x=0です。等温過程においては理想気体の状態方程式からPV=const.なのでc_x=\inftyと考えることが出来ます。また等積、等圧変化の場合にc_xがそれぞれc_v,c_pに一致することも確かめられます。

今回の記事を書くにあたっては下の本を参考にしました。

大学演習 熱学・統計力学

大学演習 熱学・統計力学

それでは。