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オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

古典電子半径

よねすけ 物理 電磁気学

こんにちは、よねすけです。

理論電磁気学

理論電磁気学

この本を久しぶりに眺めていたら古典電子半径の話が載っていて初見だったのでまとめることにしました。
N体の電子による電磁場の密度エネルギーw({\bf x},t)
\displaystyle w({\bf x},t)=\frac{1}{2}\left({\bf E\cdot D}+{\bf B\cdot H}\right)
で表されます。また電磁場の全エネルギーはこの密度エネルギーの空間積分で表され、
\displaystyle W(t)=\int_V d^3xw({\bf x},t)
となります。
このとき、静止した電子が半径a電荷-eの古典的小帯電体球とみなしてみましょう。このとき電場は電子からの距離rを用いて、
\displaystyle E(r)=\frac{-1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e}{r^2}
と表されます。いま静電場系を考えるので電磁場のエネルギーの磁場による寄与は無視できます。このとき電磁場の全エネルギーは、
\displaystyle\begin{align}
W&=\frac{1}{2}\int_Vd^3x{\bf E\cdot D}\\
&=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_Vd^3x({\bf E}({\bf x},t))^2\\
&=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{a}^{\infty}drE(r)^24\pi r^2\\
&=\frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{e}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 4\pi\int_{a}^{\infty}\frac{dr}{r^2}\\
&=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a}
\end{align}
となります。
相対論の結果を援用するならば静止質量mが持つエネルギーは
mc^2
になることが分かっています。これが電磁場の全エネルギーに一致するものと考えれば、
\displaystyle\begin{align}
&mc^2=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{a}\\
\Leftrightarrow &a=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 mc^2}
\end{align}
このようにして電子の半径が分かります。このときの係数の1/2を無視したものを古典電子半径と呼び、
a_e\simeq 2.8\times 10^{-13}[cm]
です。

電子が点電荷であるものとすれば、a\to 0としなければなりません。そうすると電磁場の全エネルギーWは無限大に発散してしまいます。これは古典的な電子のモデルがうまくいっていなことを意味しています。また量子力学においても電子は点電荷であるとみなされる(らしい)のでこの無限大の自己エネルギーの困難は量子力学でも引き継がれることになるそうです。

量子論における電子の議論は僕はあまり詳しくないので理論電磁気学のことをほぼそのまま書くままになってしまいました。この分野についても勉強していきたいと思います。

それでは。

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