円周率は有理数です。 - オタクof数理の共同ブログ

んな訳あるかい！！！
ということで、どうもよねすけです。今日はエイプリルフールなのでこんな調子乗ったタイトルにしてみました。

円周率が無理数、超越数であることは広く知られていることです。
が、その証明ってみんなあんまり知らないんじゃないかなあ、と思ったので今回は円周率の無理数性の証明を書きたいと思います。（時間の都合で途中式をずいぶんと省略してあるので良かったら自分で実際に手を動かして考えてみてください。）
なお、今回の証明には以下の本を参考にしました。この本、個人的にはめっちゃ好きな本なので良かったら手に取って見てください。

天書の証明

作者: M.アイグナー,G.M.ツィーグラー,Martin Aigner,G¨unter M. Ziegler,蟹江幸博
出版社/メーカー: シュプリンガー・フェアラーク東京
発売日: 2002/12
メディア: 単行本
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円周率を $\pi$ とおく。 $\pi^2$ が無理数であることを示す。そうすれば $\pi$ が無理数であることもわかる。
証明するにあたって以下の補題を用いる。

補題
ある $n\geq 1$ を固定し、
$\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^n(1-x)^n}{n!} \end{eqnarray}$
とおく。

関数 $f(x)$ は $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n!}\sum_{i=n}^{2n}c_{i}x^{i}$ という形の多項式で、係数 $c_{i}$ は整数である。

$0 < x < 1$ に対して、 $\displaystyle 0 < f(x) < \frac{1}{n!}$ である。

すべての $k\geq 0$ に対して、微係数 $\displaystyle f^{(k)}(0)$ と $\displaystyle f^{(k)}(1)$ は整数である。

このとき、ある整数 $a,b > 0$ に対して、 $\displaystyle\pi^2=\frac{a}{b}$ と仮定する。多項式
$\begin{eqnarray} F(x)=b^n\left(\pi^{2n}f(x)-\pi^{2n-2}f^{(2)}(x)+\pi^{2n-4}f^{(4)}(x)-\cdots\right) \end{eqnarray}$
は、 $\displaystyle F''(x)=-\pi^2F(x)+b^n \pi^{2n+2}f(x)$ を満たす。
補題の3つ目から、 $F(0),F(1)$ は整数である。
$\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left(F'(x)\sin{\pi x}-\pi F(x)\cos{\pi x}\right)&=&(F''(x)+\pi^2 F(x))\sin{\pi x}\\ &=&b^n \pi^{2n+2}f(x)\sin{\pi x}\\ &=&\pi^2 a^n f(x)\sin{\pi x} \end{eqnarray}$
となり、
$\displaystyle\begin{eqnarray} N=\pi\int_0^1 a^n f(x)\sin{\pi x}dx=F(0)+F(1) \end{eqnarray}$
は整数となる。さらに、境界を除けば正の関数の積分として定義されているので、 $N$ は正。しかし、十分に大きな $n$ を持ってきて $\displaystyle\frac{\pi a^n}{n!} < 1$ となるようにすると、補題の2つ目から
$\displaystyle 0 < N=\pi\int_0^1 a^n f(x)\sin{\pi x}dx < \frac{\pi a^n}{n!} < 1$
となる。これは $N$ が正の整数であることに矛盾。よって $\pi^2$ は無理数。
これより円周率 $\pi$ は無理数であることが示された。