Liouvilleの定理（複素解析）とその応用 - オタクof数理の共同ブログ

こんばんは。よねすけです。

今2回生ということで実験に追われているわけですが、この前返却されたレポートを見てみると20点満点で9点しかありませんでした笑
笑えないですね。もう少しまじめに実験に取り組むべきだった。。。

さて、今回はLiouvilleの定理を紹介します。（読み方は多分リウビリ）解析力学、数論の分野にもLiouvilleの定理というものがありますが、それとは別物なのでご注意を。（しかし、この3つはいずれも同じリウビリさんが発見したそうです。すごすぎ！！）

Liouvilleの定理は以下の主張のことを言います。

Liouvilleの定理
$\mathbb{C}$ 上有界な正則関数は定数関数のみである。

なんという簡潔さ！！絶対授業で扱うべきだと思うんですけどねえ。。。

早速証明を見てみましょう。

$f(z)$ を $\mathbb{C}$ 上有界な正則関数とする。 $f(z)$ が定数関数であることを示せれば良い。
ここで、 $\mathbb{C}$ 上有界であるといことは
$\exists M\in\mathbb{R}\ s.t.,\forall z\in\mathbb{C} ,\ |f(z)|\leq M$
である。
いま、 $f(z)$ は $\mathbb{C}$ 上の正則関数であるから $z=0$ でテイラー展開が出来て、以下のように書ける。
$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$
ただし、 $\displaystyle a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ である。
ここで、コーシーの積分公式を思い出すと、
$\displaystyle f^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta$
ただし、 $C_{r}$ は原点を中心とする半径 $r>0$ の円である。これを用いると、
$\displaystyle a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta$
以降、これについて調べてみる。
$\displaystyle |a_n|\leq\frac{1}{2\pi}\oint_{C_r}\frac{|f(\zeta)|}{|\zeta|^{n+1}}|d\zeta|$
であり、はじめに有界であることから書けた条件を用いれば、
$\displaystyle |a_n|\leq\frac{M}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{r^{n+1}}rd\theta$
右辺を計算すると
$\displaystyle \frac{M}{2\pi}\cdot\frac{2\pi}{r^n}=\frac{M}{r^n}$
である。いま $r$ は任意であるから、 $n\geq 1$ のとき $r\to\infty$ で $|a_n|\to 0$ がわかる。
よって、 $n\geq 1$ で $a_n=0$ なので $f(z)=a_0$ となり、 $f(z)$ が定数関数であることが示された。

どうですかこの簡潔さ！！（2回目）

実関数を考えてみましょう。 $\mathbb{R}$ 上で有界かつ微分可能な関数 $f(x)$ は常に定数関数だけでしょうか。まあそんなはずはなくて、一番有名な例が $\sin x$ じゃないでしょうか。ここに実関数と複素関数の明確な違いが見て取れると思います。

しかもLiouvilleの定理は意外なところで活躍します。それは代数学の基本定理と呼ばれるものです。

代数学の基本定理
$p(t)$ を $\mathbb{C}$ 上のdeg $p\geq 1$ である多項式とする。このとき $p(z)=0$ である $z\in\mathbb{C}$ が少なくとも1つ存在する。

この定理の証明もLiouvilleの定理を用いればあっさり解けてしまうのです！！

$\displaystyle f(z)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\ (a_{i}\in\mathbb{C},a_n\neq 0,n\geq 1)$
を考える。この複素関数が $\forall z\in\mathbb{C}$ で $f(z)=0$ とならないと仮定する。また、 $f(z)$ の表記自体がテイラー展開の形になっていることからも $f(z)$ が正則であることがわかる。
そうすると、 $\displaystyle g(z)=\frac{1}{f(z)}$ は $\mathbb{C}$ 上で正則かつ有界なので（ $\displaystyle g(z)=\frac{1}{0}$ となるようなことがない！！）、先ほど示したLiouvilleの定理が使えて、 $g(z)$ は定数関数であることがわかる。そうすると、自ずと $f(z)$ も定数関数となるがこれは明らかにはじめに記した $f(z)$ の表式に矛盾する。
よって、 $f(z)$ は $\mathbb{C}$ 上で少なくとも1つの点 $z\in\mathbb{C}$ で $f(z)=0$ となるようなものが存在する。