オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

久しぶりに書く

よねすけ数学雑記

久しぶりにブログを書きます、よねすけです。大学院生になって思ったよりも忙しいことがわかったので、いろんなことを要領よくこなしていかないとだめだな〜と痛感する最近です。

さっきこんなことを知って面白かったのでブログにでも書いて見る。

はじめに床関数というものを導入します。床関数は与えられた実数に対してそれ以下の最大の整数を返す関数です。例えば

$\displaystyle \left\lfloor\pi\right\rfloor=3$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{2}\right\rfloor=1$
$\displaystyle \left\lfloor -1.4\right\rfloor=-2$

となります。このとき、次のような面白いこと知られているらしいです。

$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{44}\right\rfloor=6$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{4444}\right\rfloor=66$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{444444}\right\rfloor=666$
$\displaystyle \left\lfloor\sqrt{44444444}\right\rfloor=6666$
...

こんな感じでどんどん続いていくらしいです。本当にそうなっているのか、証明してみましょう。

証明
一般に示すべきことは、
$\displaystyle a_{n}=\underbrace{44\cdots 44}_{2n個},\ b_n=\underbrace{6\cdots 6}_{n個}$ とした時に

$\displaystyle\left\lfloor\sqrt{a_n}\right\rfloor=b_n$ です。床関数の定義から、 $\displaystyle b_n\leq \sqrt{a_n}{<}b_n+1$ が分かれば良いです。しかも各項は正なので2乗すると $\displaystyle b_n^2\leq a_n{<}\left(b_n+1\right)^2$ を示せば良いことがわかります。なので各項を計算して上の不等式が本当に正しいかを確かめましょう。 $a_n,b_n$ はそれぞれ式変形すると

$\displaystyle a_n=\underbrace{44\cdots 44}_{2n個}=4\left(10^{2n-1}+\cdots+1\right)=\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)$
$\displaystyle b_n=\underbrace{6\cdots 6}_{n個}=6\left(10^{n-1}+\cdots+1\right)=\frac{2}{3}\left(10^{n}-1\right)$

となります。このとき、

$\displaystyle b_n-a_n^2=\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)-\frac{4}{9}\left(10^{n}-1\right)^2=\frac{8}{9}\left(10^{n}-1\right){>}0$
$\displaystyle \left(a_{n}+1\right)^2-b_n=\left(\frac{4}{9}10^{2n}+\frac{4}{9}10^{n}+\frac{1}{9}\right)-\frac{4}{9}\left(10^{2n}-1\right)=\frac{4}{9}10^{n}+\frac{5}{9}{>}0$

がわかるので、上の不等式は常に成り立つことがわかります。よって証明されました。

まあ、こんな感じで証明はできるけど、できるだけ、という感じが否めないですね。。。この式が成り立つことの背後にはなにかすごい法則があったりするんですかね。。。何か知ってる人がいらっしゃればぜひ教えてください。

それでは。