そもそも虚軸ってなんなの - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは．かじはらです．

今日はこんな問題を考えてみます．

${ \displaystyle x^2 = -1 }$

この式を「一次元の世界の計算」と呼んでおきましょう．

これは考える範囲を複素数としなければ解をもたず．

${ \displaystyle x = \pm i }$

となります．簡単ですね．

さて，複素数はどんなものかといわれたら多くの人が次の式を思い起こすと思います．

${ \displaystyle z = x + iy　(z \in \mathbb{C},\, x,y \in \mathbb{R}) }$

複素数を座標で表すときに，ちょうどこのxを直交座標のx軸に対応させて実軸と呼び，yをy軸に対応させて虚軸と呼びました．

式で見ると当然のように思えますがそもそもなぜ虚軸をy軸と対応させたのでしょうか．

そこでいったんさっきの問題をわきに置いて次の問題を考えたいと思います．

${ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\\ が成り立つような実数a,b,c,dを求めよ． }$

実際に計算すればわかることですがこの問題の解は実は無数にあります．ここでは最も簡潔だと思われる

${ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) }$

を採用しましょう. この行列を $X$ と置き，最初の問題を書き直すと

${ \displaystyle X^2 = -I }$

となります．これを「二次元の世界の計算」と呼びましょう．最初に考えた「一次元の世界の計算」と形がとても似ていますね．

「一次元の世界」で掛け算を考えたとき，その単位元は「1」です。その世界で「ある一次の行列を２乗すると-1になる数」を考えようとすると実数の範囲では答えが見つからず，複素数という概念を導入しなければならなくなりました．

「二次元の世界」で掛け算を考えたとき，その単位元は「 $I$ 」です．「ある二次の行列を２乗すると $-I$ になる数」を考えるとちゃんと実数の範囲で答えが見つかります．

ここまでくると一次元だった(実数の)直線を複素数に拡張しよう，つまり虚数単位を導入しようとするとき，二次元である平面を考える発想はとても自然なことに思えてきませんか？

ではなぜ虚軸は「x軸と直交をなすy軸」なのでしょうか．単に平面を考えるだけなら別に直交していなくてもいいはずですよね．（まあ直交してるものを考えるのが一番わかりやすいじゃん，と言われてしまうとその通りなのですが．）

行列 $X$ をこんな風に書き換えてみましょう．

${ \displaystyle X = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos90^\circ \end{array} \right) }$