ポアソンの式の一般化 - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは、よねすけです。

今回はポアソンの式の一般化を試みたいと思います。
そもそもポアソンの式とは、理想気体の断熱過程において圧力 $P$ と体積 $V$ が

$PV^{\gamma}=const.$ の関係で結ばれる式のことです。ここで $\gamma$ は等圧比熱 $c_p$ と等積比熱 $c_v$ を用いて、 $\displaystyle\gamma=\frac{c_p}{c_v}$ と表されます。
証明は熱力学第一法則を用います。すなわち内部エネルギーの変化 $\Delta U$ と与えられる熱量 $\Delta Q$ と仕事 $-P\Delta V$ の間には $\Delta U=\Delta Q-P\Delta V$ なる関係式があります。いまは断熱過程を考えるので与える熱量は $0$ です。また内部エネルギーは体積によらず温度のみによることが知られておりその変化 $\Delta U$ は等積比熱と温度 $T$ を用いて、 $\Delta U=c_v\Delta T$ と書けます。よって先ほどの式は $c_v\Delta T=-P\Delta V$ と書けます。理想気体の状態方程式 $PV=RT$ を代入すると $\displaystyle\begin{align} c_v\Delta T&=-\frac{RT}{V}\Delta V\\ \Leftrightarrow\frac{c_v}{R}\frac{\Delta T}{T}&=-\frac{\Delta V}{V} \end{align}$ となります。 $\Delta$ を $d$ に変えて両辺を積分すると、 $\displaystyle\begin{align} \frac{c_v}{R}\log T+\log V&=const.\\ \Leftrightarrow\log\left(TV^{\frac{R}{c_v}}\right)=const.\\ \Leftrightarrow TV^{\frac{R}{c_v}}=const. \end{align}$ です。ここでMayerの式 $c_p-c_v=R$ と上で導入した $\gamma$ を代入すると、 $TV^{\gamma-1}=const.$ がわかります。ここに理想気体の状態方程式を用いて温度 $T$ を消去することで、 $PV^{\gamma}=const.$ が示されました。

次にこれを一般の過程におけるものとしてこの保存量を求めてみましょう。一般の過程における比熱を $c_x$ とします。考える温度の範囲内で比熱が一定であるとすると、

$\Delta Q=c_x\Delta T$ となります。これを上と同じように熱力学第一法則の式に当てはめると、 $\displaystyle\begin{align} c_v\Delta T&=c_x\Delta T-P\Delta V\\ \Leftrightarrow(c_v-c_x)\Delta T&=-P\Delta V \end{align}$ となります。ポアソンの式の場合と同じように計算してやると、 $\displaystyle TV^{\frac{R}{c_v-c_x}}=const.$ となります。ここにMayerの式と理想気体の状態方程式を代入してやると、 $\displaystyle PV^{\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}}=const.$ となります。これが一般化されたポアソンの式です。体積 $V$ の肩にのっている数を $f$ と書けば、 $\displaystyle PV^f=const.,\ \ f=\frac{c_x-c_p}{c_x-c_v}$ となります。
この一般化されたポアソンの式を用いるといろいろな過程に関する比熱を求めることが出来ます。例えば断熱過程においては $f=\gamma$ なので $c_x=0$ です。等温過程においては理想気体の状態方程式から $PV=const.$ なので $c_x=\infty$ と考えることが出来ます。また等積、等圧変化の場合に $c_x$ がそれぞれ $c_v,c_p$ に一致することも確かめられます。

今回の記事を書くにあたっては下の本を参考にしました。