オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

楕円の極座標表示

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.
今回は楕円の極座標表示の方法について書いてみたいと思います.

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式 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a\ge b>0)$ で表される楕円を書いてみました.このとき焦点は $e=\sqrt{1-(b/a)^2}$ を用いて, $F(ea,0),F'(-ea,0)$ と書けます。
このような楕円があったときに,極座標においての原点を点 $F$ として図のように考える点と原点との距離を $r$ ,始線(この場合 $x$ 軸の $x\ge ea$ )からの偏角を $\theta$ とします.
点 $(x,y)$ を $A$ と名付け,三角形 $AFF'$ について考えます.余弦定理を用いると

$(r')^2=r^2+(2ea)^2-2\times r\times 2ea\times\cos(\pi-\theta)$

が分かります.また楕円の作図の仕方から

$r+r'=2a$

も分かります.この２式を連立させて解くと,

$\displaystyle r=\frac{b^2}{a(1+e\cos\theta)}$

が分かります.点 $A$ の座標を極座標変換してそれを楕円の方程式に代入して,,,とやっていくよりは少しは計算量が減る気がします.

それでは.