オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

三角関数に関する不等式

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は三角関数に関する不等式を示したいとおもいます.三角形 $ABC$ の角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ について

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

となります.これを面白い方法で示してみましましょう(受験数学では有名な手法なので読者の皆さんは知っていることかも知れませんが,,,).

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上のような図を書いてみました. $y=\sin x$ の上に角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ を載せてみましょう.そうするとその３点から三角形が作られますが, $[0,\pi$ ]において $y=\sin x$ は凸関数なので三角形は正弦波はその下に潜り込む形になります.その三角形の重心 $G$ を考えると三角形の重心は必ずその内部にあるので $y$ 座標の大小を比較すれば以下の式が成立します.

$\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)$

$A,B,C$ は三角形の角なので $A+B+C=\pi$ なのでそれを代入すれば

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が得られました.しかしこれは三角形の角がすべて異なるときにしか成り立ちません.二等辺三角形や正三角形の場合は別に考えないと行けません.正三角形の場合は等号が成立するので大丈夫です.二等辺三角形の場合は三角形が線分になりますが線分を $2:1$ に分ける点と $3$ 点の平均となる点が一致するので同様に上の式が成り立つことが分かります.以上より

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が示されました.またこの式から

$\displaystyle\sin A\sin B\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$

も分かります.これは相加平均相乗平均に関する不等式を用いると

$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin A+\sin B+\sin C\ge 3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}$

なので左辺と右辺を $3$ で割り, $3$ 乗すると示されます.三角関数に関する不等式は色々な証明方法が知られているので面白いですね.

それでは.