オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

チェザロ平均

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は数列のチェザロ平均というものついて書きたいと思います.
今までは数列(今回は複素数列を考える.)の級数が収束するというのは複素数列の級数

$\displaystyle c_0+c_1+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}c_k$

について第 $n$ 部分和 $s_n$ を

$\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^{n}c_k$

と定めたときに, $\lim_{n\to\infty}s_n=s$ となるならば,級数和は $s$ に収束する,というふうに習ったと思います.この定義でいくと例えば

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1$

などが分かりますね.しかし,この定義だと次のような級数に対して極限を持ちません.

$\displaystyle 1-1+1-1+1-\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$

この場合は部分和の列が $1,0,1,0,\cdots$ となるからです.しかし部分和が交互に $1,0$ と現れるので希望としては $1/2$ に収束してくれるといいなあ,って思いますよね??そこで次のような意味付けを与えてみましょう.

はじめの $N$ 個の部分和の平均をとって

$\displaystyle\sigma_N=\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{N-1}}{N}$

とおいてみましょう. $\sigma_N$ を数列 $\{s_n\}$ の第 $N$ チェザロ平均と呼ばれます. $N\to\infty$ のときに $\{\sigma_N\}$ が普通の意味である複素数 $\sigma$ に収束するときに,級数 $\sum_{k=0}^{\infty}c_k$ は $\sigma$ にチェザロ総和可能というふうに言います.

この定義で行くと先ほどの級数もきちんと $1/2$ に収束することも確かめられますね.

しかし,少し問題があります.収束の意味をこのように押し広げたときにこれは果たして普通の意味で収束するときの値と一致するのでしょうか?なので次の事を確かめる必要があります.

普通の意味で収束する数列はチェザロ総和可能か??

これは真です.実際に確かめましょう.はじめと同じように数列 $\{c_n\}$ の級数が普通の意味で $s$ に収束するとしましょう.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}c_k=\lim_{n\to\infty}s_n=s$

このとき次が成り立つことは一回生の微積分でやりました( $\varepsilon -\delta$ 論法で示せます.).

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=s\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{n-1}}{n}=s$

これよりこの級数は $s$ にチェザロ総和可能であることが分かりました.しかも収束値まで一致します.

それでは.