数学のメモ - オタクof数理の共同ブログ

授業の演習問題で $\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ の証明する問題が出たのでいろいろな証明を載せたいと思います。

～フーリエ級数展開の利用～
$\displaystyle\zeta(2)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ についてこれは無限級数なのでフーリエ級数展開を用いることを考えます。(授業の演習問題はこの方法だった)
周期関数 $f(t)=t^2(-\pi\le t\le\pi)$ の複素フーリエ級数展開を計算すると

$\displaystyle \begin{equation} t^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n\ne 0,n=-\infty}^{\infty}\frac{2(-1)^n}{n^2}e^{-int} \end{equation}$
である。 $t=\pi$ を代入すると
$\displaystyle\begin{eqnarray} \pi^2&=&\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n\ne0}\frac{2(-1)^n}{n^2}e^{-int}\\ &=&\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n\ne0}\frac{2(-1)^n}{n^2}(-1)^n\\ &=&\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n\ne0}\frac{2}{n^2}\\ &=&\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2}\\ &=&\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$

となります。あとは式変形すると
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

となることがわかりました。

～別の級数から求める～
先ほどの関数の複素でない場合のフーリエ級数展開から得られる

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$
があります。これを書き下してみると
$\displaystyle \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{12}$
一方、適切な不等式評価を行うと $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ は収束することがわかるので、この値を $\displaystyle\alpha$ と置いてみます。
ここで以下のような級数を考えます。
$\displaystyle 2\frac{1}{2^2}+2\frac{1}{4^2}+2\frac{1}{6^2}+2\frac{1}{8^2}+\cdots$
この級数はきちんと収束して先ほどの $\displaystyle\alpha$ を用いると $\displaystyle 2\cdot\frac{1}{2^2}\alpha=\frac{1}{2}\alpha$ となります。
そこでこの2つの無限級数を足し合わせてみます。
$\displaystyle\begin{eqnarray} \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}+\cdots&=&\frac{\pi^2}{12}\\ 2\frac{1}{2^2}+2\frac{1}{4^2}+2\frac{1}{6^2}+2\frac{1}{8^2}+\cdots&=&\frac{1}{2}\alpha \end{eqnarray}$
すると左辺はちょうど $\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ となり、これは $\displaystyle\alpha$ に一致します。右辺と比較すると $\displaystyle\frac{\pi^2}{12}+\frac{1}{2}\alpha=\alpha$ より、
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi^2}{6}$
が得られました。

続きは長くなるので次回に書きます。