面白い積分 - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは,よねすけです.
今回は最近目にした面白い積分について書きます.

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}$

タンジェントの肩に $\sqrt{2}$ が乗っているので一瞬びっくりしてしまうのですが,これは実は見掛け倒しのもので別に $e,\pi$ でも何でも良いことが分かります.あ,あとこの積分は広義積分になりますが,きちんと収束するので安心して下さい.

実際に解きましょう.この $I$ を求める前に,一旦 $x\mapsto y=\pi/2-x$ と変数変換された $I'$ を求めてみましょう.

$\displaystyle \begin{eqnarray} I'&=&\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-{\rm d}y}{1+\frac{1}{\tan^{\sqrt{2}}y}}\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}y}{1+\tan^{\sqrt{2}}y}{\rm d}y\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x \end{eqnarray}$

$I'$ は $I$ に変数変換を施したものなので積分の値は変わりません.これを用いると

$\displaystyle \begin{eqnarray} 2I&=&I+I'\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}x\\ &=&\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$

が分かりました.以上より,