ウィルソンの定理の証明 - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは、よねすけです。久々の投稿になります。
今回はウィルソンの定理を二通りで証明したいと思います。

ウィルソンの定理とは、有理素数 $p$ を考えたとき、
$\begin{equation} (p-1)!\equiv -1(mod\ p) \end{equation}$

証明方法としては、逆元を用いるものと原始根を用いるものがあります。

逆元を用いた証明

逆元に関する話は前回にも少し書きましたが、ここに改めて記すことにします。
$1\leq a\leq p-1$ なる自然数 $a$ に対して、 $ka\equiv 1(mod\ p)$ なる $k(1\leq k\leq p-1)$ がただひとつ存在し、 $\displaystyle k\equiv \frac{1}{a}$ と書きます。このとき

$2,3,4,\cdots,p-3,p-2$
の $p-3$ 個の数字を $\displaystyle\left(a_i,\frac{1}{a_i}\right)$ というペアに分けます。なぜこのようなペアに分けることができるかというと、
$\displaystyle a\equiv\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2-1\equiv 0\Leftrightarrow a\equiv\pm1\equiv 1,p-1$
となり、この２つははじめから除いてあるからです。よって、
$\displaystyle 2\times 3\times 4\times\cdots\times p-2\equiv\prod_{i=1}^{\frac{p-3}{2}}a_i\cdot\frac{1}{a_i}\equiv 1$
ゆえに、
$(p-1)!\equiv 1\times 1\times (p-1)\equiv -1(mod\ p)$
となり、ウィルソンの定理が示されました。

原始根を用いた証明

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群になることが知られており、その生成元を原始根と呼びます。（本当の定義は違う気がします。）
生成元の一つを選び、 $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ とすると、
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}=\{\overline{g^0},\overline{g^1},\cdots,\overline{g^{p-2}}\}$
と書けることが分かります。 $p=2$ でウィルソンの定理が成り立つのは明らかなので以下では $p>2$ とします。

$\displaystyle (p-1)!\equiv\prod_{i=1}^{p-2}g^i\equiv g^{1+2+\cdots+p-2}\equiv g^{\frac{(p-1)(p-2)}{2}}(mod\ p)$
ここで $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p)$ です。なぜなら、
$\displaystyle (g^{\frac{p-1}{2}})^2\equiv g^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
がフェルマーの小定理から分かります。これより $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1(mod\ p)$ となるのですが、いま $g$ は原始根なので $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)$ でなければならないのです。よって
$\displaystyle (p-1)!\equiv (g^{\frac{p-1}{2}})^{p-2}\equiv (-1)^{p-2}\equiv -1(mod\ p)$
が示されました。（最後に $p$ が奇素数であることを用いました。）

以上です。どちらもとてもおもしろい証明だと思います。
それでは