おもろい式 - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは,よねすけです.
明日はじめて阪大に行くのが楽しみすぎて眠れない.遠足の前の日みたいや.

高木貞治の『解析概論』をぼーっとめくってたら

作者: 高木貞治
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2010/09/16
メディア: 単行本（ソフトカバー）
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オモロい式を見つけました.

$\displaystyle\frac{q}{1-q}+\frac{q^3}{1-q^3}+\frac{q^5}{1-q^5}+\cdots=\frac{q}{1-q^2}+\frac{q^2}{1-q^4}+\frac{q^3}{1-q^6}+\cdots$

ただし, $|q|<1$ です.普通に証明するのは簡単やった.

$\displaystyle\begin{eqnarray} (左辺)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}q^{2n+1}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\left(q^{2n+1}\right)^m\right)\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{m=0}^{\infty}q^{(2n+1)(m+1)}\right)\\ (右辺)&=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n+1}}{1-q^{2(n+1)}}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}q^{n+1}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\left(q^{2(n+1)}\right)^m\right)\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{m=0}^{\infty}q^{(2m+1)(n+1)}\right)\\ &=&\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}q^{(2n+1)(m+1)}\right) \end{eqnarray}$

となります.なのであと示すべきことはこの無限和が交換できることです.二重級数は絶対収束すれば足し算の順番を交換しても大丈夫なのでこいつらが絶対収束することを示しましょう.示すべきことは

$\displaystyle\sum_{n,m=0}^{N}|q|^{(2n+1)(m+1)}\leq M$

なる $M$ が $N$ の値によらずに存在することです.こいつが案外厄介.

$\displaystyle\begin{eqnarray} \sum_{n,m=0}^{N}|q|^{(2n+1)(m+1)}&\leq&\sum_{n=0}^{N}\frac{|q|^{2n+1}}{1-|q|^{2n+1}}\\ &\leq&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|q|^n}{1-|q|^n} \end{eqnarray}$

こいつが有界である(収束する)ことは各自頑張って証明してみて下さい*1.

(無限和)=(無限和)の形やから,ポアソンの和公式から示せたらエレガントやなあ,とか思った.

それでは.

*1:ここに証明をいくらか書いてみました.良かったら読んで下さい. otaku-of-suri.hatenablog.com