オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

答え

こんにちは,よねすけです.

前回の記事で,

otaku-of-suri.hatenablog.com

最後に証明を残したところがあるので,それだけ示したいと思います.示すべきことは0{<}q{<}1において

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{1-q^n}<\infty

です.二通りほど示し方を考えました.
ダランベールの収束判定法を用いる
ダランベールの収束判定法を使えば簡単に示せます.

\displaystyle a_n=\frac{q^n}{1-q^n}

と置くと,n\to\infty

\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\cdot\frac{1-q^n}{q^n}=q\cdot\frac{1-q^n}{1-q^{n+1}}\to q<1

となるので示せました.

ちょっとテクる
うまい(?)方法を思いついたので書いてみます.q<1なのでq1の中点を取ると

\displaystyle q{<}\frac{q+1}{2}{<}1

となります.これを使うと

\displaystyle q^n<\frac{q+1}{2}\iff\frac{1}{1-q^n}<\frac{2}{1-q}

が分かります.これをはじめの式に適用すると

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{1-q^n}{<}\frac{2}{1-q}\sum_{n=1}^{\infty}q^n=\frac{2q}{(1-q)^2}

となり示されました.

それでは.

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