判別式パート３ - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは, よねすけです.

otaku-of-suri.hatenablog.com
以前３次方程式の判別式についてまとめました. 今回 $n$ 次方程式の特別な場合としての $x^n+px+q=0$ の判別式を求めることが出来たので以下に記しておきます.
判別式と微分の関係については高木貞治の本を参考にしました.

代数学講義改訂新版

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判別式 $D$ は係数 $p,q$ の多項式で次のように表されます.

$\displaystyle D=\sum_{\alpha,\beta}\lambda_{\alpha,\beta}p^{\alpha}q^{\beta}$ $n$ 次方程式の判別式の重みは定義から ${}_nC_2\times 2=n(n-1)$ です. $p$ の重みは $n-1$ であり, $q$ の重みは $n$ なので, 重みについて以下の式 $\alpha (n-1)+\beta n=n(n-1)$ が成立します. 連続する２整数は互いに素であることを考えれば, $\alpha,\beta$ の値は, $(\alpha, \beta)=(n,0), (0,n-1)$ が分かります. これを用いて判別式を改めて書き直すと, $D=\lambda p^n+\mu q^{n-1}$ になります. 以下で $\lambda,\mu$ をそれぞれ求めて行きましょう.

$p=0, q=-1$ のとき

考える方程式は

$x^n-1=0$ になるのでこの方程式の解はすぐ求まって, $\displaystyle x=\exp\left(2\pi i\frac{k}{n}\right)\ (0\le k{<}n)$ です. これと判別式と微分の関係式を用いると, $\displaystyle \begin{eqnarray} D&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{k=0}^{n-1}f'\left(e^{2\pi i\frac{k}{n}}\right)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp\left(2\pi i\frac{n-1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}k\right)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n\exp(\pi i(n-1)^2)\\ &=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1} \end{eqnarray}$ が分かりました. よって, $\displaystyle \begin{eqnarray} \mu(-1)^{n-1}&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n (-1)^{n-1}\\ \Leftrightarrow\mu&=&(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^n \end{eqnarray}$ となります.

$p=-1, q=0$ のとき

考える方程式は

$x^n-x=x\left(x^{n-1}-1\right)$ なのでこの方程式の解は $\displaystyle x=0,\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\right)\ (0\le k{<}n-1)$ です. $x=0$ を除いた解のみから構成される判別式は一個上で求めた判別式の $n-1$ 次の場合にあたるのでそれを用いると $\displaystyle \begin{eqnarray} D&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^{n-2}\times\prod_{k=0}^{n-2}\exp\left(2\pi i\frac{k}{n-1}\times 2\right)\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp\left(4\pi i\frac{k}{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}k\right)\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\times\exp(2\pi i(n-2))\\ &=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n \end{eqnarray}$ がわかります. よって $\displaystyle \begin{eqnarray} \lambda(-1)^n&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}(-1)^n\\ \Leftrightarrow\lambda&=&(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1} \end{eqnarray}$ となります.

以上から $n$ 次方程式 $x^n+px+q=0$ の判別式は

$\displaystyle D=(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}(n-1)^{n-1}p^n+(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}n^nq^{n-1}$ これは確かに以前求めた３次方程式の判別式にも一致することはすぐに確かめられます.以下のリンクの通りです.
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それでは.