答え - オタクof数理の共同ブログ

こんにちは,よねすけです.

前回の記事で,

最後に証明を残したところがあるので,それだけ示したいと思います.示すべきことは $0{<}q{<}1$ において

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{1-q^n}<\infty$

です.二通りほど示し方を考えました.
ダランベールの収束判定法を用いる
ダランベールの収束判定法を使えば簡単に示せます.

$\displaystyle a_n=\frac{q^n}{1-q^n}$

と置くと, $n\to\infty$ で

$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\cdot\frac{1-q^n}{q^n}=q\cdot\frac{1-q^n}{1-q^{n+1}}\to q<1$

となるので示せました.

ちょっとテクる
うまい(?)方法を思いついたので書いてみます. $q<1$ なので $q$ と $1$ の中点を取ると

$\displaystyle q{<}\frac{q+1}{2}{<}1$

となります.これを使うと

$\displaystyle q^n<\frac{q+1}{2}\iff\frac{1}{1-q^n}<\frac{2}{1-q}$

が分かります.これをはじめの式に適用すると

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{1-q^n}{<}\frac{2}{1-q}\sum_{n=1}^{\infty}q^n=\frac{2q}{(1-q)^2}$

となり示されました.

それでは.