自分で問題を作ってみたけれど... - オタクof数理の共同ブログ

おはこんばんにちは、よねすけです.
最近いろんな先生のホームページを見るのにはまっていて,そうしたら大体の先生が研究の事とかをブログに書いていることを知ったので,自分もこれからも続けていこうと思いました(なんの報告やねん).

この前授業始まる前に友達と喋ってたら,「問題出してや」って言われたから作った(?)のが下の問題

$\displaystyle\sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$

この値を求めよっていう問題を出したけど自分と思ってたんと違う解き方をされてう〜〜ってなった.

自分の想定してた解答

$\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}$

となるから(!!),これをルートの中にぶち込んだら

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}&=&\sum_{n=1}^{2016}\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\\ &=&\sum_{n=1}^{2016}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=&2016+\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\right\}\\ &=&2017-\frac{1}{2017} \end{eqnarray}$

となって答えが出ました!!この解法のミソは