2016-11-27

面白い積分

よねすけ数学積分

こんにちは,よねすけです.
今回は最近目にした面白い積分について書きます.

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}$

タンジェントの肩に $\sqrt{2}$ が乗っているので一瞬びっくりしてしまうのですが,これは実は見掛け倒しのもので別に $e,\pi$ でも何でも良いことが分かります.あ,あとこの積分は広義積分になりますが,きちんと収束するので安心して下さい.

実際に解きましょう.この $I$ を求める前に,一旦 $x\mapsto y=\pi/2-x$ と変数変換された $I'$ を求めてみましょう.

$\displaystyle \begin{eqnarray} I'&=&\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-{\rm d}y}{1+\frac{1}{\tan^{\sqrt{2}}y}}\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}y}{1+\tan^{\sqrt{2}}y}{\rm d}y\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x \end{eqnarray}$

$I'$ は $I$ に変数変換を施したものなので積分の値は変わりません.これを用いると

$\displaystyle \begin{eqnarray} 2I&=&I+I'\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}x\\ &=&\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$

が分かりました.以上より,

$\displaystyle I=\frac{\pi}{4}$

となります.こんな感じの変数変換を施して積分結果が得られるものとしてこれもありますね.

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x{\rm d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x{\rm d}x=\frac{\pi}{4}$

それでは

2016-10-30

フェルマーの小定理の証明

よねすけ数学整数論

こんにちは、よねすけです。
今回はフェルマーの小定理を二通りで証明したいと思います。

フェルマーの小定理とは、素数 $p$ と $\gcd(a,p)=1$ なる整数 $a$ を考えたとき、
$\begin{equation} a^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \end{equation}$

証明には数学的帰納法を用いるものと群の性質を用いるものがあります。

数学的帰納法による証明

まずは

$n^p\equiv n(mod\ n)$
となることを $n$ に関する数学的帰納法で示しましょう。 $n=1$ の時は明らかなので、ある $n$ でこの式が成立するとしましょう。
このとき二項展開の公式を用いて、
$\displaystyle (n+1)^p\equiv \sum_{i=0}^{p}{}_pC_{i}n^i\equiv n^p+1+\sum_{i=1}^{p-1}{}_pC_{i}n^i(mod\ p)$
いま $1\leq i\leq p-1$ のとき、 ${}_pC_{i}$ は $p$ の倍数であることが知られています。なぜなら
$\displaystyle {}_pC_i=\frac{p!}{i!(p-i)!}$
と表されており、 $p!$ は $p$ の倍数である一方、 $i!,(p-i)!$ は $p$ の倍数で無いからです。以上より帰納法の仮定を用いれば
$(n+1)^p\equiv n^p+1\equiv n+1(mod\ p)$
となり $n+1$ の場合も成り立つことが示されました。
$n$ が $p$ の倍数でないとき、すなわち $\gcd(n,p)=1$ のときは両辺を $n$ で割って
$n^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
が示されました。

群の性質を用いるもの

組み換え定理を用います。 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ を考えるならば、 $a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ によって以下の２つの集合が対等であることが分かります。

$\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}=\{\overline{a},\overline{2a},\cdots,\overline{(p-1)a}\}$
これを用いれば
$(p-1)!\equiv a\times 2a\times\cdots\times (p-1)a\equiv a^{p-1}(p-1)!(mod\ p)$
$(p-1)!$ は $p$ の倍数でないので(ウィルソンの定理によると $(p-1)!\equiv -1(mod\ p)$ )、両辺を $(p-1)!$ で割ると
$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
が得られました。

どちらも簡潔な証明で素晴らしいですね。
それでは。

2016-10-30

ウィルソンの定理の証明

よねすけ整数論数学

こんにちは、よねすけです。久々の投稿になります。
今回はウィルソンの定理を二通りで証明したいと思います。

ウィルソンの定理とは、有理素数 $p$ を考えたとき、
$\begin{equation} (p-1)!\equiv -1(mod\ p) \end{equation}$

証明方法としては、逆元を用いるものと原始根を用いるものがあります。

逆元を用いた証明

逆元に関する話は前回にも少し書きましたが、ここに改めて記すことにします。
$1\leq a\leq p-1$ なる自然数 $a$ に対して、 $ka\equiv 1(mod\ p)$ なる $k(1\leq k\leq p-1)$ がただひとつ存在し、 $\displaystyle k\equiv \frac{1}{a}$ と書きます。このとき

$2,3,4,\cdots,p-3,p-2$
の $p-3$ 個の数字を $\displaystyle\left(a_i,\frac{1}{a_i}\right)$ というペアに分けます。なぜこのようなペアに分けることができるかというと、
$\displaystyle a\equiv\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2-1\equiv 0\Leftrightarrow a\equiv\pm1\equiv 1,p-1$
となり、この２つははじめから除いてあるからです。よって、
$\displaystyle 2\times 3\times 4\times\cdots\times p-2\equiv\prod_{i=1}^{\frac{p-3}{2}}a_i\cdot\frac{1}{a_i}\equiv 1$
ゆえに、
$(p-1)!\equiv 1\times 1\times (p-1)\equiv -1(mod\ p)$
となり、ウィルソンの定理が示されました。

原始根を用いた証明

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群になることが知られており、その生成元を原始根と呼びます。（本当の定義は違う気がします。）
生成元の一つを選び、 $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ とすると、
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}=\{\overline{g^0},\overline{g^1},\cdots,\overline{g^{p-2}}\}$
と書けることが分かります。 $p=2$ でウィルソンの定理が成り立つのは明らかなので以下では $p>2$ とします。

$\displaystyle (p-1)!\equiv\prod_{i=1}^{p-2}g^i\equiv g^{1+2+\cdots+p-2}\equiv g^{\frac{(p-1)(p-2)}{2}}(mod\ p)$
ここで $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p)$ です。なぜなら、
$\displaystyle (g^{\frac{p-1}{2}})^2\equiv g^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
がフェルマーの小定理から分かります。これより $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1(mod\ p)$ となるのですが、いま $g$ は原始根なので $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)$ でなければならないのです。よって
$\displaystyle (p-1)!\equiv (g^{\frac{p-1}{2}})^{p-2}\equiv (-1)^{p-2}\equiv -1(mod\ p)$
が示されました。（最後に $p$ が奇素数であることを用いました。）

以上です。どちらもとてもおもしろい証明だと思います。
それでは

2016-08-25

モジュラ逆数

よねすけ数学整数論

よねすけです。今回は整数論を少しかじってみるよ。

$p$ を有理素数とし、 $\gcd(a,p)=1$ の時、

$ax\equiv 1(\mod p)$
なる整数 $x$ がただひとつ存在することが一般に知られています。(証明は $x,x'$ が上の式を満たすとして $x\equiv x'$ を示せる。)
このときの $x$ を $\mod p$ における $a$ の逆元(モジュラ逆数とも)と言い、 $x\equiv a^{-1}$ と書きます。
(競技プログラミングをしている友達がこのことについて質問してきました。競技プログラミングも結構数学を使うんだなあといった印象です。)

まあこれを書いただけじゃ意味が無いんでここでは１問問題を解いてみましょう。(本当はこの逆元を使ってウィルソンの定理を証明するのが良いんでしょうがここでは数オリ(?)の問題を載せます。)

正の整数 $a$ は
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$
をみたす。 $a$ を $13$ で割った余りを求めよ。

自分の数論の問題集を取り出したらこの問題にマークが付いてたのが懐かしいのぉ〜と思いましたね。もう４年も前ですね笑

早速解いていきましょう。右辺の $23!$ が邪魔なのでこれを払うと

$a=23!+\frac{23!}{2}+\cdots+\frac{23!}{23}$
となります。右辺の各項は整数で $\frac{23!}{13}$ 以外は $13$ で割れるので、
$\begin{eqnarray} a&\equiv&\frac{23!}{13}\\ &\equiv&12!\cdot 14\cdot 15\cdots 23\\ &\equiv&12!\cdot 10!\\ &\equiv&\frac{(12!)^2}{11\cdot 12}\\ &\equiv&\frac{(-1)^2}{(-1)(-2)}\\ &\equiv&2^{-1}\\ &\equiv&7 \end{eqnarray}$
となり、答えは $7$ と分かりました。
一応説明しておくと
$12!\equiv -1(\mod 13)$
としました。これはウィルソンの定理 - Wikipediaを用いました。
あと、
$2^{-1}\equiv 7(\mod 13)$
としましたが、確かに
$2\times7=14\equiv 1(\mod 13)$
を満たすので $2$ の $\mod 13$ における逆元が $7$ であることが分かりますね。

それでは。

2016-08-25

円筒座標系におけるrotの表示

よねすけ数学

夏休みいかがお過ごしでしょうか。よねすけです。
今日は成績発表でしたね。僕は一科目だけ落としてたので異議申し立てするか迷っています。

今回は円筒座標系におけるrotがどう表されるかについて書きたいです。（だいぶ昔の）ゼミの教科書で当たり前のように出てきてびっくりしました。

まず、ユークリッド座標系でのベクトルは円筒座標系ではどのように表されるのでしょうか。
計算の方法としては直交座標 $\{x,y,z\}$ から円筒座標 $\{\rho,\phi,z\}$ への変数変換を考えます。

$\begin{eqnarray} x&=&\rho\cos\phi\\ y&=&\rho\sin\phi\\ z&=&z\\ \end{eqnarray}$
それぞれの座標系での基底ベクトルを定めます。直交座標については、
${\boldsymbol e}_x= \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right),{\boldsymbol e}_y= \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right),{\boldsymbol e}_z= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right)$
円筒座標については、
${\boldsymbol e}_{\rho}= \left( \begin{array}{c} \rho\cos\phi\\ \rho\sin\phi\\ 0 \end{array} \right),{\boldsymbol e}_{\phi}= \left( \begin{array}{c} {-}\rho\sin\phi\\ \rho\cos\phi\\ 0 \end{array} \right),{\boldsymbol e}_z= \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right)$
ただしこれらベクトルは直交座標ののるものとします。
このとき適当なベクトル ${\boldsymbol A}$ このような式を考えることができます。
${\boldsymbol A}=A_{x}{\boldsymbol e}_{x}+A_{y}{\boldsymbol e}_{y}+A_{z}{\boldsymbol e}_{z}=A_{\rho}{\boldsymbol e}_{\rho}+A_{\phi}{\boldsymbol e}_{\phi}+A_{z}{\boldsymbol e}_{z}$
${\boldsymbol e}_{x},{\boldsymbol e}_{y},{\boldsymbol e}_{z}$ は互いに直交することに注意すれば、
$A_{x}=A_{\rho}{\boldsymbol e}_{\rho}\cdot{\boldsymbol e}_{x}+A_{\phi}{\boldsymbol e}_{\phi}\cdot{\boldsymbol e}_{x}$
であり、
$\begin{eqnarray} {\boldsymbol e}_{\rho}\cdot{\boldsymbol e}_{x}&=&\cos \phi\\ {\boldsymbol e}_{\phi}\cdot{\boldsymbol e}_{x}&=&-\sin \phi \end{eqnarray}$
を用いれば、
$A_{x}=A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phi$ となる事が分かります。 $A_{y}=A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phi$ も同様に示せます。
よって、
${\boldsymbol A}= \left( \begin{array}{c} A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phi\\ A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phi\\ A_{z}\\ \end{array} \right)$
がわかりました。

次に
${\boldsymbol \nabla}={\boldsymbol e}_{x}\partial_{x}+{\boldsymbol e}_{y}\partial_{y}+{\boldsymbol e}_{z}\partial_{z}$ を円筒座標系で表示する事を考えます。
これは極座標の場合と同じで、

$\begin{eqnarray} \partial_{\rho}&=&\cos \phi \partial_{x} +\sin \phi \partial_{y}\\ \partial_{\phi}&=&-r\sin \phi \partial_{x}+r\cos \phi \partial_{y} \end{eqnarray}$
より、
$\begin{eqnarray} \partial_{x}&=&\cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\ \partial_{y}&=&\sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi} \end{eqnarray}$
が言えるので、
${\boldsymbol \nabla}= \left( \begin{array}{c} \cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\ \sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi}\\ \partial_{z}\\ \end{array} \right)$
がわかります。
以上より、
$\begin{eqnarray} {\boldsymbol \nabla} \times {\boldsymbol A}&=&\left( \begin{array}{c} \partial_x\\ \partial_y\\ \partial_{z}\\ \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{c} A_x\\ A_y\\ A_z\\ \end{array} \right)\\ &=&\left( \begin{array}{c} \cos \phi \partial_{\rho}-\frac{1}{r}\sin \phi \partial_{\phi}\\ \sin \phi\partial_{\rho}+\frac{1}{r}\cos\phi\partial_{\phi}\\ \partial_{z}\\ \end{array} \right)\times\left( \begin{array}{c} A_{\rho}\cos \phi-A_{\phi}\sin \phi\\ A_{\rho}\sin \phi+A_{\phi}\cos \phi\\ A_{z}\\ \end{array} \right)\\ \end{eqnarray}$
これを各成分について計算して整理すると、(ここは計算が煩雑なので省略しました)
$\begin{eqnarray} {\boldsymbol \nabla}\times{\boldsymbol A}=\left(\frac{1}{\rho}\partial_{\phi}A_z-\partial_zA_{\phi}\right){\boldsymbol e}_{\rho}+(\partial_zA_{\rho}-\partial_{\rho}A_z){\boldsymbol e}_{\phi}+\frac{1}{r}(\partial_{\rho}(\rho A_{\rho})-\partial_{\phi}A_{\rho}){\boldsymbol e}_{z} \end{eqnarray}$
がわかります。 $z$ 方向については直交座標と何も変わらないので ${\boldsymbol \nabla},{\boldsymbol A}$ の $z$ 方向については何も計算しなくても良かったですね。最後の計算がほんまにめんどくさいです。
それでは。

2016-08-09

前期の振り返りするで。

よねすけ

こんばんは、よねすけです。
3回前期が無事に(?)終わったのでいつもの様に振り返りを。今期は受けた授業がどれも面白かったです。

月曜2限：工業数学A2
数値計算に関する授業でした。数値計算アルゴリズムをいっぱい聞けてその歴史についても少し学べたので面白いと思いました。ほんとは全部自分で実装とかしないとダメなんだろうな、とか思いながらも結局ヤコビ法 - Wikipediaしか実装しませんでした。まあ実際使うときになったら実装しましょうね。
試験は授業の内容から証明問題が出たり、実際に近似計算させたり、という感じの問題でした。僕はパデ近似(Padé approximation)を覚えていませんでした、はい。ちゃんと勉強しましょう。

月曜3,4限：数値計算演習
はい、鬼門の実験です。正直、授業中に先生やTAにきちんと質問していればそんなにしんどくは無かったと思います。僕は授業中に怠けてしまって課題をためてしまったので提出日前日にモンスターエナジーを導入するハメになりました。課題はまじめにこなしましょうね。個人的にはパーコレーションのシミュレーッションが面白かったです。(課題の一つはこのURLに上がっています。http://www-fcs.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~harada/education.html)

火曜2限：確率離散事象論
火曜日はこのコマしかなかったので、この授業終わったらきらめきJAPANに行こうかな、にぼに行こうかな、みたいなことを考えながら授業を受けていました。授業は待ち行列モデルに関するものでした。確率を正確に扱えるならば特に難しくありません。むしろ僕はこの授業で確率の計算をきちんと扱えるようになった気がします。
試験は授業から満遍なくでました。レジュメをしっかり理解して、基礎事項をきちんと覚えていれば問題無いでしょう。

水曜1限：工業数学A3
Fourier解析に関する授業です。Fourier解析をただ計算できるってだけじゃなくて解析的に厳密に扱えるようにしておきましょうね、っていう授業でした。僕はこういう授業も大切だな、と思います。
試験は演習問題と似たような問題が出ました。演習問題が解ければ問題無いでしょう。

水曜2限：確率と統計
確率と統計、名前の通りの授業です。途中から何をやっているか分からなくなった、と言っている人が結構いました。分からない時はその場できちんと復習しましょうね、といった所かな。
試験は授業から満遍なく出ました。計算力があって授業を理解していれば問題はなさそう。

水曜3限：人工知能
これもタイトル通りの授業。ほんまにこう言うのがあるよっていう感じでした。内容は一つ一つはとてもおもしろいとは思いましたが、正直苦手なタイプの授業でした。
試験は論述ばっかりでした。きちんとレジュメを読みましょう。僕は山を外して一題まるまるほぼ白紙でした。

水曜4限：力学系の数学
力学系の授業です。最高です。おもしろい。内容は面白いんやけど、それ以上に先生の雑談(?)が面白かったです。
試験は演習問題が解ければ特に問題なく解ける問題になっています。

木曜2限：物理統計学
僕が個人的に一番好きな授業でした。ブラウン運動、ランジュバン方程式などなど盛り沢山なイメージでした。
試験はレポート問題から1題、授業から1題でした。レポート問題をきちんと復習すれば難なくこなせるでしょう。

木曜4限：数理解析
超関数の基礎と超関数を用いた有名偏微分方程式の基本解の導出が主でした。今までの微積分のいろいろな定義を拡張していく感じ(?)が個人的に面白かったです。拡張する前に1回生の微積分をしっかり分かっとけや？って言われないようにしましょうね。
試験はなくてレポートのみです。分かっていれば、難しくはないです。分かっていれば、ですが。
金曜2限：振動・波動論
2回生の時に取り損ねたので取りました笑。恥ずかしいのでスルーしましょう。

金曜3限：非線形動力学
統計力学の基本的事項に始まり、数理生態のモデルの解析、集団引き込み転移の解析、スケールフリーネットワークの理論など幅広く扱った授業でした。スライドでシミュレーションの様子も見れて面白いなあと思いました。レポートが3回出ました。1回も出しませんでした笑。
試験はレポートが理解できていれば特に問題ありません。

こんな感じですね。夏休みはしっかり学び、働き、遊び、3回後期に備えたいと思います。
それでは。

2016-07-27

試験のヤマのはりかた！

zalgo 雑記

こんにちは。ざるご（@zalgo3）です。

ぼくは今定期試験の真っ最中です。小中高校生の人はもう試験は終わって夏休みなのかな？
というわけで今日はヤマはりについての話題です。

よく試験でヤマなんかはるな！全部ちゃんと勉強しろ！って言う人がいます。
まあ、それも一理あるんですけど、ヤマをはることってのはそんなに悪いことなんでしょうか？
先生が試験に出しそうなところ＝重要なところ
です。そこをしっかりやるっていうのはその教科の理解に大きく貢献するでしょうね。
でも、ヤマはったら違うとこが出ておおコケした！赤点取っちゃった！なんて人もいるんじゃないでしょうか。
そういう人って、この図みたいなヤマのはりかたをしてるような気がします。
f:id:otaku_of_suri:20160727164518p:plain
こうすることはあまりオススメしません。勉強したとこが出なかった時のリスクが大きすぎますね笑
それに、しっかり勉強した範囲が出たとしても、意外と問題が簡単で、ちゃんと勉強したのが報われなかった・・ってなりかねません。

僕のおすすめはこうです！
f:id:otaku_of_suri:20160727164523p:plain
でなさそうなとこも、ちょっとはやりましょう！万が一出たとしてもその問題が最低限0点にはならずにすみます。
でも、結構メリハリはつけちゃって大丈夫だと思います！一番出そうなとこはスラスラ書けるくらいにしときたいですが、そこまででもないところにそんなにまじめに付き合ってあげなくても良さそうです。

ざるごでした。それではまた〜

オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです