2016-11-28

チェザロ平均

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は数列のチェザロ平均というものついて書きたいと思います.
今までは数列(今回は複素数列を考える.)の級数が収束するというのは複素数列の級数

$\displaystyle c_0+c_1+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}c_k$

について第 $n$ 部分和 $s_n$ を

$\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^{n}c_k$

と定めたときに, $\lim_{n\to\infty}s_n=s$ となるならば,級数和は $s$ に収束する,というふうに習ったと思います.この定義でいくと例えば

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1$

などが分かりますね.しかし,この定義だと次のような級数に対して極限を持ちません.

$\displaystyle 1-1+1-1+1-\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$

この場合は部分和の列が $1,0,1,0,\cdots$ となるからです.しかし部分和が交互に $1,0$ と現れるので希望としては $1/2$ に収束してくれるといいなあ,って思いますよね??そこで次のような意味付けを与えてみましょう.

はじめの $N$ 個の部分和の平均をとって

$\displaystyle\sigma_N=\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{N-1}}{N}$

とおいてみましょう. $\sigma_N$ を数列 $\{s_n\}$ の第 $N$ チェザロ平均と呼ばれます. $N\to\infty$ のときに $\{\sigma_N\}$ が普通の意味である複素数 $\sigma$ に収束するときに,級数 $\sum_{k=0}^{\infty}c_k$ は $\sigma$ にチェザロ総和可能というふうに言います.

この定義で行くと先ほどの級数もきちんと $1/2$ に収束することも確かめられますね.

しかし,少し問題があります.収束の意味をこのように押し広げたときにこれは果たして普通の意味で収束するときの値と一致するのでしょうか?なので次の事を確かめる必要があります.

普通の意味で収束する数列はチェザロ総和可能か??

これは真です.実際に確かめましょう.はじめと同じように数列 $\{c_n\}$ の級数が普通の意味で $s$ に収束するとしましょう.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}c_k=\lim_{n\to\infty}s_n=s$

このとき次が成り立つことは一回生の微積分でやりました( $\varepsilon -\delta$ 論法で示せます.).

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=s\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{n-1}}{n}=s$

これよりこの級数は $s$ にチェザロ総和可能であることが分かりました.しかも収束値まで一致します.

それでは.

2016-11-27

三角関数に関する不等式

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は三角関数に関する不等式を示したいとおもいます.三角形 $ABC$ の角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ について

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

となります.これを面白い方法で示してみましましょう(受験数学では有名な手法なので読者の皆さんは知っていることかも知れませんが,,,).

f:id:otaku_of_suri:20161127201346p:plain

上のような図を書いてみました. $y=\sin x$ の上に角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ を載せてみましょう.そうするとその３点から三角形が作られますが, $[0,\pi$ ]において $y=\sin x$ は凸関数なので三角形は正弦波はその下に潜り込む形になります.その三角形の重心 $G$ を考えると三角形の重心は必ずその内部にあるので $y$ 座標の大小を比較すれば以下の式が成立します.

$\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)$

$A,B,C$ は三角形の角なので $A+B+C=\pi$ なのでそれを代入すれば

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が得られました.しかしこれは三角形の角がすべて異なるときにしか成り立ちません.二等辺三角形や正三角形の場合は別に考えないと行けません.正三角形の場合は等号が成立するので大丈夫です.二等辺三角形の場合は三角形が線分になりますが線分を $2:1$ に分ける点と $3$ 点の平均となる点が一致するので同様に上の式が成り立つことが分かります.以上より

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が示されました.またこの式から

$\displaystyle\sin A\sin B\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$

も分かります.これは相加平均相乗平均に関する不等式を用いると

$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin A+\sin B+\sin C\ge 3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}$

なので左辺と右辺を $3$ で割り, $3$ 乗すると示されます.三角関数に関する不等式は色々な証明方法が知られているので面白いですね.

それでは.

2016-11-27

楕円の極座標表示

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.
今回は楕円の極座標表示の方法について書いてみたいと思います.

f:id:otaku_of_suri:20161127171145p:plain

式 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a\ge b>0)$ で表される楕円を書いてみました.このとき焦点は $e=\sqrt{1-(b/a)^2}$ を用いて, $F(ea,0),F'(-ea,0)$ と書けます。
このような楕円があったときに,極座標においての原点を点 $F$ として図のように考える点と原点との距離を $r$ ,始線(この場合 $x$ 軸の $x\ge ea$ )からの偏角を $\theta$ とします.
点 $(x,y)$ を $A$ と名付け,三角形 $AFF'$ について考えます.余弦定理を用いると

$(r')^2=r^2+(2ea)^2-2\times r\times 2ea\times\cos(\pi-\theta)$

が分かります.また楕円の作図の仕方から

$r+r'=2a$

も分かります.この２式を連立させて解くと,

$\displaystyle r=\frac{b^2}{a(1+e\cos\theta)}$

が分かります.点 $A$ の座標を極座標変換してそれを楕円の方程式に代入して,,,とやっていくよりは少しは計算量が減る気がします.

それでは.

2016-11-27

面白い積分

よねすけ数学積分

こんにちは,よねすけです.
今回は最近目にした面白い積分について書きます.

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}$

タンジェントの肩に $\sqrt{2}$ が乗っているので一瞬びっくりしてしまうのですが,これは実は見掛け倒しのもので別に $e,\pi$ でも何でも良いことが分かります.あ,あとこの積分は広義積分になりますが,きちんと収束するので安心して下さい.

実際に解きましょう.この $I$ を求める前に,一旦 $x\mapsto y=\pi/2-x$ と変数変換された $I'$ を求めてみましょう.

$\displaystyle \begin{eqnarray} I'&=&\int_{\frac{\pi}{2}}^0\frac{-{\rm d}y}{1+\frac{1}{\tan^{\sqrt{2}}y}}\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}y}{1+\tan^{\sqrt{2}}y}{\rm d}y\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x \end{eqnarray}$

$I'$ は $I$ に変数変換を施したものなので積分の値は変わりません.これを用いると

$\displaystyle \begin{eqnarray} 2I&=&I+I'\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{{\rm d}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{1+\tan^{\sqrt{2}}x}{\rm d}x\\ &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\rm d}x\\ &=&\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$

が分かりました.以上より,

$\displaystyle I=\frac{\pi}{4}$

となります.こんな感じの変数変換を施して積分結果が得られるものとしてこれもありますね.

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x{\rm d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x{\rm d}x=\frac{\pi}{4}$

それでは

2016-10-30

フェルマーの小定理の証明

よねすけ数学整数論

こんにちは、よねすけです。
今回はフェルマーの小定理を二通りで証明したいと思います。

フェルマーの小定理とは、素数 $p$ と $\gcd(a,p)=1$ なる整数 $a$ を考えたとき、
$\begin{equation} a^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \end{equation}$

証明には数学的帰納法を用いるものと群の性質を用いるものがあります。

数学的帰納法による証明

まずは

$n^p\equiv n(mod\ n)$
となることを $n$ に関する数学的帰納法で示しましょう。 $n=1$ の時は明らかなので、ある $n$ でこの式が成立するとしましょう。
このとき二項展開の公式を用いて、
$\displaystyle (n+1)^p\equiv \sum_{i=0}^{p}{}_pC_{i}n^i\equiv n^p+1+\sum_{i=1}^{p-1}{}_pC_{i}n^i(mod\ p)$
いま $1\leq i\leq p-1$ のとき、 ${}_pC_{i}$ は $p$ の倍数であることが知られています。なぜなら
$\displaystyle {}_pC_i=\frac{p!}{i!(p-i)!}$
と表されており、 $p!$ は $p$ の倍数である一方、 $i!,(p-i)!$ は $p$ の倍数で無いからです。以上より帰納法の仮定を用いれば
$(n+1)^p\equiv n^p+1\equiv n+1(mod\ p)$
となり $n+1$ の場合も成り立つことが示されました。
$n$ が $p$ の倍数でないとき、すなわち $\gcd(n,p)=1$ のときは両辺を $n$ で割って
$n^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
が示されました。

群の性質を用いるもの

組み換え定理を用います。 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ を考えるならば、 $a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ によって以下の２つの集合が対等であることが分かります。

$\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}=\{\overline{a},\overline{2a},\cdots,\overline{(p-1)a}\}$
これを用いれば
$(p-1)!\equiv a\times 2a\times\cdots\times (p-1)a\equiv a^{p-1}(p-1)!(mod\ p)$
$(p-1)!$ は $p$ の倍数でないので(ウィルソンの定理によると $(p-1)!\equiv -1(mod\ p)$ )、両辺を $(p-1)!$ で割ると
$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
が得られました。

どちらも簡潔な証明で素晴らしいですね。
それでは。

2016-10-30

ウィルソンの定理の証明

よねすけ整数論数学

こんにちは、よねすけです。久々の投稿になります。
今回はウィルソンの定理を二通りで証明したいと思います。

ウィルソンの定理とは、有理素数 $p$ を考えたとき、
$\begin{equation} (p-1)!\equiv -1(mod\ p) \end{equation}$

証明方法としては、逆元を用いるものと原始根を用いるものがあります。

逆元を用いた証明

逆元に関する話は前回にも少し書きましたが、ここに改めて記すことにします。
$1\leq a\leq p-1$ なる自然数 $a$ に対して、 $ka\equiv 1(mod\ p)$ なる $k(1\leq k\leq p-1)$ がただひとつ存在し、 $\displaystyle k\equiv \frac{1}{a}$ と書きます。このとき

$2,3,4,\cdots,p-3,p-2$
の $p-3$ 個の数字を $\displaystyle\left(a_i,\frac{1}{a_i}\right)$ というペアに分けます。なぜこのようなペアに分けることができるかというと、
$\displaystyle a\equiv\frac{1}{a}\Leftrightarrow a^2-1\equiv 0\Leftrightarrow a\equiv\pm1\equiv 1,p-1$
となり、この２つははじめから除いてあるからです。よって、
$\displaystyle 2\times 3\times 4\times\cdots\times p-2\equiv\prod_{i=1}^{\frac{p-3}{2}}a_i\cdot\frac{1}{a_i}\equiv 1$
ゆえに、
$(p-1)!\equiv 1\times 1\times (p-1)\equiv -1(mod\ p)$
となり、ウィルソンの定理が示されました。

原始根を用いた証明

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ は巡回群になることが知られており、その生成元を原始根と呼びます。（本当の定義は違う気がします。）
生成元の一つを選び、 $g\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ とすると、
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}=\{\overline{1},\overline{2},\cdots,\overline{p-1}\}=\{\overline{g^0},\overline{g^1},\cdots,\overline{g^{p-2}}\}$
と書けることが分かります。 $p=2$ でウィルソンの定理が成り立つのは明らかなので以下では $p>2$ とします。

$\displaystyle (p-1)!\equiv\prod_{i=1}^{p-2}g^i\equiv g^{1+2+\cdots+p-2}\equiv g^{\frac{(p-1)(p-2)}{2}}(mod\ p)$
ここで $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod\ p)$ です。なぜなら、
$\displaystyle (g^{\frac{p-1}{2}})^2\equiv g^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$
がフェルマーの小定理から分かります。これより $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1(mod\ p)$ となるのですが、いま $g$ は原始根なので $\displaystyle g^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(mod p)$ でなければならないのです。よって
$\displaystyle (p-1)!\equiv (g^{\frac{p-1}{2}})^{p-2}\equiv (-1)^{p-2}\equiv -1(mod\ p)$
が示されました。（最後に $p$ が奇素数であることを用いました。）

以上です。どちらもとてもおもしろい証明だと思います。
それでは

2016-08-25

モジュラ逆数

よねすけ数学整数論

よねすけです。今回は整数論を少しかじってみるよ。

$p$ を有理素数とし、 $\gcd(a,p)=1$ の時、

$ax\equiv 1(\mod p)$
なる整数 $x$ がただひとつ存在することが一般に知られています。(証明は $x,x'$ が上の式を満たすとして $x\equiv x'$ を示せる。)
このときの $x$ を $\mod p$ における $a$ の逆元(モジュラ逆数とも)と言い、 $x\equiv a^{-1}$ と書きます。
(競技プログラミングをしている友達がこのことについて質問してきました。競技プログラミングも結構数学を使うんだなあといった印象です。)

まあこれを書いただけじゃ意味が無いんでここでは１問問題を解いてみましょう。(本当はこの逆元を使ってウィルソンの定理を証明するのが良いんでしょうがここでは数オリ(?)の問題を載せます。)

正の整数 $a$ は
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$
をみたす。 $a$ を $13$ で割った余りを求めよ。

自分の数論の問題集を取り出したらこの問題にマークが付いてたのが懐かしいのぉ〜と思いましたね。もう４年も前ですね笑

早速解いていきましょう。右辺の $23!$ が邪魔なのでこれを払うと

$a=23!+\frac{23!}{2}+\cdots+\frac{23!}{23}$
となります。右辺の各項は整数で $\frac{23!}{13}$ 以外は $13$ で割れるので、
$\begin{eqnarray} a&\equiv&\frac{23!}{13}\\ &\equiv&12!\cdot 14\cdot 15\cdots 23\\ &\equiv&12!\cdot 10!\\ &\equiv&\frac{(12!)^2}{11\cdot 12}\\ &\equiv&\frac{(-1)^2}{(-1)(-2)}\\ &\equiv&2^{-1}\\ &\equiv&7 \end{eqnarray}$
となり、答えは $7$ と分かりました。
一応説明しておくと
$12!\equiv -1(\mod 13)$
としました。これはウィルソンの定理 - Wikipediaを用いました。
あと、
$2^{-1}\equiv 7(\mod 13)$
としましたが、確かに
$2\times7=14\equiv 1(\mod 13)$
を満たすので $2$ の $\mod 13$ における逆元が $7$ であることが分かりますね。

それでは。

オタクof数理の共同ブログ

京大情報学科数理工学コースの学生4人による共同ブログです

チェザロ平均

三角関数に関する不等式

楕円の極座標表示

面白い積分

フェルマーの小定理の証明

ウィルソンの定理の証明

モジュラ逆数