2016-12-09

そもそも虚軸ってなんなの

cajihara 数学

こんにちは．かじはらです．

今日はこんな問題を考えてみます．

${ \displaystyle x^2 = -1 }$

この式を「一次元の世界の計算」と呼んでおきましょう．

これは考える範囲を複素数としなければ解をもたず．

${ \displaystyle x = \pm i }$

となります．簡単ですね．

さて，複素数はどんなものかといわれたら多くの人が次の式を思い起こすと思います．

${ \displaystyle z = x + iy　(z \in \mathbb{C},\, x,y \in \mathbb{R}) }$

複素数を座標で表すときに，ちょうどこのxを直交座標のx軸に対応させて実軸と呼び，yをy軸に対応させて虚軸と呼びました．

式で見ると当然のように思えますがそもそもなぜ虚軸をy軸と対応させたのでしょうか．

そこでいったんさっきの問題をわきに置いて次の問題を考えたいと思います．

${ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\\ が成り立つような実数a,b,c,dを求めよ． }$

実際に計算すればわかることですがこの問題の解は実は無数にあります．ここでは最も簡潔だと思われる

${ \displaystyle \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) }$

を採用しましょう. この行列を $X$ と置き，最初の問題を書き直すと

${ \displaystyle X^2 = -I }$

となります．これを「二次元の世界の計算」と呼びましょう．最初に考えた「一次元の世界の計算」と形がとても似ていますね．

「一次元の世界」で掛け算を考えたとき，その単位元は「1」です。その世界で「ある一次の行列を２乗すると-1になる数」を考えようとすると実数の範囲では答えが見つからず，複素数という概念を導入しなければならなくなりました．

「二次元の世界」で掛け算を考えたとき，その単位元は「 $I$ 」です．「ある二次の行列を２乗すると $-I$ になる数」を考えるとちゃんと実数の範囲で答えが見つかります．

ここまでくると一次元だった(実数の)直線を複素数に拡張しよう，つまり虚数単位を導入しようとするとき，二次元である平面を考える発想はとても自然なことに思えてきませんか？

ではなぜ虚軸は「x軸と直交をなすy軸」なのでしょうか．単に平面を考えるだけなら別に直交していなくてもいいはずですよね．（まあ直交してるものを考えるのが一番わかりやすいじゃん，と言われてしまうとその通りなのですが．）

行列 $X$ をこんな風に書き換えてみましょう．

${ \displaystyle X = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos90^\circ \end{array} \right) }$

回転行列がでてきました．つまり「二次元の世界」で $X^2 = -I$ の解となる行列（のひとつ）は直交座標を90度回転させるようなものだということになります．

つまり実軸を(正の符号を採用すれば反時計回り，負の符号なら時計回りに)90度回転させたものが虚軸に対応する，ということが，こう書くととても腑に落ちますね．わーい．

なんだかまわりくどく書いてしまいました．

そもそもどうしてこんなことを書いたかと言うと，高校数学の新課程に関して，素人ながら少し思うことがあったからです．

高校数学の新課程では行列がなくなり，複素平面が復活しました．

でも，今までの議論を思い出すと，この新課程には違和感を覚えます．

今日本屋で高校数学の参考書の複素平面のページを見たら，最初に

${ \displaystyle z = x + iy　(z \in \mathbb{C},\, x,y \in \mathbb{R})\\ i = \sqrt{-1} }$

こういう式がいきなり書いてあるものが多くて，それ以降は共役がどうの，絶対値がどうの，といったことが書いてあって．

高校の頃，どうやって複素平面について学んだのかはよく覚えてませんが，もし今の自分が誰かに複素平面について説明しろ，と言われたら最初の行列の概念を使うと思うんです．だから行列を消して，複素数を復活させる，ということが，自分にとってはむずがゆい．

…偉そうに高校数学に文句を言ってしまいました．すみません．

最後まで読んでくれた方，ありがとうございます．

おしまい．

2016-12-03

半球の体積の求め方

cajihara 数学

こんにちは。かじはらです。なんと2015年8月以来の投稿になります。

前回の投稿で株はじめる宣言をしたかじはらでした。
otaku-of-suri.hatenablog.com

しかしすっかり飽きてしまったというか、毎日朝に株価のチェックをするのが面倒で、今はほとんど売ってしまいました。

持っていた株を売るときにあまりにも買値よりも下がってしまっていたものだけ今手元に置いているのですが、この前久々に確認したらだいぶ値段が戻ってきてたことと、少ないながらももらえる配当金のことを考えると、まあ持ったままでいいかな、と思って放置しています。

さて本題。今日は以下の問題について考えます。

「半径rの半球の体積Vを求めなさい」

答えが ${ \displaystyle V = \frac{2}{3} \pi r^3 }$ であることはあまりによく知られた結果ですね。

（球の体積の公式を習ったとき、それを微分すると球の表面積になることに気付いた瞬間はなんとも言えない感動がありましたが、今思えば、微分や積分の意味を理解していなかった証拠かもしれません。）

この問いにガリレオ・ガリレイが全く別の解法を提示していたことを最近知りました。

日常現象からの解析学

作者: 岡本久
出版社/メーカー: 近代科学社
発売日: 2016/02/17
メディア: 単行本
この商品を含むブログ (3件) を見る

↑この本の中で紹介されてました。好き。

新科学対話〈上,下〉 (1949年) (岩波文庫)

作者: ガリレオ・ガリレイ,今野武雄,日田節次
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 1949
メディア: 文庫
この商品を含むブログを見る

↑ちなみに元ネタはこの本の中に。

まず半径r高さrの円柱にこの半球をすっぽりと埋もれさせたものの断面を考えます。

f:id:otaku_of_suri:20161203170422p:plain

さらに次のような補助線をひいてみます。
f:id:otaku_of_suri:20161203170641p:plain
添え字がごちゃごちゃしていて見にくいですね。ついでに言うと最初の図との大きさのバランスも悪いですね。ごめんなさい。

さて、ここで半球ではなく、この補助線によって現れた円錐と、円柱から半球をくりぬいた図形に対応する臼のような形の図形に着目してみましょう。

このGHの面でスパッと切ったときの臼に対応する図形の断面積Sは
${ \displaystyle S = \pi (GH^2 - HI^2) }$
と表せます。ここでピタゴラスの定理より、
${ \displaystyle HI^2 = FI^2 - FH^2 }$
が成り立ちます。

さらに、GHは半球の半径に対応することからGH=FI、この円錐の断面が直角二等辺三角形であることからFH=JHが成り立ちます。

よってこれらを代入すると
${ \displaystyle S = \pi (FI^2 - (FI^2 - JH^2))= \pi JH^2 }$
となり、臼の断面積が円錐の断面積と一致することがわかります。これは円柱の底面に水平になるように切断することを考えれば、円柱内の任意の断面について成り立ちます。

これより円錐の体積は
${ \displaystyle \frac{1}{3}×(円柱の体積) }$
ですので、半球の体積は
${ \displaystyle V = \frac{2}{3}×(円柱の体積)=\frac{2}{3} \pi r^3 }$
であることがわかりました。

こんな補助線の引き方、そう簡単に思いつくものじゃないと思います。（少なくとも自分には無理。）

余談ですが、ガリレオが亡くなった年はニュートンが生まれた年でもあります。なんだか運命的ですね。

おしまい。

2016-12-03

自分で問題を作ってみたけれど...

よねすけ数学

おはこんばんにちは、よねすけです.
最近いろんな先生のホームページを見るのにはまっていて,そうしたら大体の先生が研究の事とかをブログに書いていることを知ったので,自分もこれからも続けていこうと思いました(なんの報告やねん).

この前授業始まる前に友達と喋ってたら,「問題出してや」って言われたから作った(?)のが下の問題

$\displaystyle\sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$

この値を求めよっていう問題を出したけど自分と思ってたんと違う解き方をされてう〜〜ってなった.

自分の想定してた解答

$\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^4+2n^3+3n^2+2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{(n^2+n+1)^2}{n^2(n+1)^2}$

となるから(!!),これをルートの中にぶち込んだら

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{2016}\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}&=&\sum_{n=1}^{2016}\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\\ &=&\sum_{n=1}^{2016}\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=&2016+\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)\right\}\\ &=&2017-\frac{1}{2017} \end{eqnarray}$

となって答えが出ました!!この解法のミソは

$n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2$

の因数分解が出来るか,ってところやったけど友達は $n=1$ から順番に代入して実験的にこの式を得ていた...まあ実験するよな...って自分でも思ったけど笑

「高校生でも出来そうな問題やな」みたいな話をしてて,これを大学チックな問題に改良出来へんかなって思ってこれを一般の $n$ までの和にして先と同じことをしてやると,

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=n+1-\frac{1}{n+1}$

になるから十分大きな $n$ でこの式は $O(n)$ って事が分かるから,

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}}{n}=1$

っていう問題が出来たやん!!👍

って喜んでたんやけど,これどっかで見たことあるな...って思って

$\displaystyle a_n:=\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$

っておいてやると

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}=\lim_{n\to\infty}a_n=1$

ってなって一瞬で解けてまうやんけ...ってなりましたね（泣）

最後の式変形がわからない人は
otaku-of-suri.hatenablog.com
を見てください.

問題を作るのってこんなに難しいんか...って思った出来事でした.

それでは

2016-12-01

判別式パート２

よねすけ数学代数学

こんにちは,よねすけです.

少し前に三次方程式の判別式について長々と書きました.

otaku-of-suri.hatenablog.com

ところが,ある日高木貞治の代数学講義を読んでいたら,

代数学講義改訂新版

作者: 高木貞治
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 1965/11/25
メディア: 単行本
購入: 1人クリック: 29回
この商品を含むブログ (8件) を見る

五次方程式の判別式の求め方をものすごく簡単に示していて目からウロコでした.今回は三次方程式の場合に高木先生の方法を一部用いて判別式を求めたいと思います.

三次方程式 $x^3+px+q=0$ に対して,判別式は $p^mq^n$ のような項からなっていて,その次数の重さは $6$ です. $p,q$ の重さはそれぞれ $2,3$ なので

$2m+3n=6$

という式が成り立ちます.これより $(m,n)=(3,0),(0,2)$ です.よって判別式は

$D=\lambda p^3+\mu q^2$

が分かります.例えば $p=0,q=-1\Leftrightarrow x^3-1=0$ を考えるとこの方程式の解は $1,\omega,\omega^2$ なので判別式は

$D=(1-\omega)^2(\omega-\omega^2)^2(\omega^2-1)^2=-27$

になります.いま $p=0,q=-1$ より $D=\mu$ なので $\mu=-27$ が分かりました.
$p=-1,q=0\Leftrightarrow x^3-x=0$ を考えるとこの方程式の解は $0,\pm 1$ なので判別式は

$D=(0-1)^2(1-(-1))^2((-1)-0)^2=4$

になります.いま $p=-1,q=0$ より $D=-\lambda$ なので $\lambda=-4$ が分かりました.

以上より三次方程式 $x^3+px+q=0$ の判別式 $D$ は

$D=-4p^3-27q^2$

が分かりました.

めちゃくちゃ簡単に出せましたね.前回の鬼の計算量とは比較になりません.高木先生の本には判別式と微分の関係を使って更に簡単に示していましたがこの方法でも十分に早いので良いと思います.気になった人はぜひ高木貞治の代数学講義を手に取って見てみて下さい.

最近数学ばかりなので今度は物理のことを書きたい.黒体輻射のこととか.

それでは

2016-11-28

チェザロ平均

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は数列のチェザロ平均というものついて書きたいと思います.
今までは数列(今回は複素数列を考える.)の級数が収束するというのは複素数列の級数

$\displaystyle c_0+c_1+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}c_k$

について第 $n$ 部分和 $s_n$ を

$\displaystyle s_n=\sum_{k=0}^{n}c_k$

と定めたときに, $\lim_{n\to\infty}s_n=s$ となるならば,級数和は $s$ に収束する,というふうに習ったと思います.この定義でいくと例えば

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1$

などが分かりますね.しかし,この定義だと次のような級数に対して極限を持ちません.

$\displaystyle 1-1+1-1+1-\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$

この場合は部分和の列が $1,0,1,0,\cdots$ となるからです.しかし部分和が交互に $1,0$ と現れるので希望としては $1/2$ に収束してくれるといいなあ,って思いますよね??そこで次のような意味付けを与えてみましょう.

はじめの $N$ 個の部分和の平均をとって

$\displaystyle\sigma_N=\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{N-1}}{N}$

とおいてみましょう. $\sigma_N$ を数列 $\{s_n\}$ の第 $N$ チェザロ平均と呼ばれます. $N\to\infty$ のときに $\{\sigma_N\}$ が普通の意味である複素数 $\sigma$ に収束するときに,級数 $\sum_{k=0}^{\infty}c_k$ は $\sigma$ にチェザロ総和可能というふうに言います.

この定義で行くと先ほどの級数もきちんと $1/2$ に収束することも確かめられますね.

しかし,少し問題があります.収束の意味をこのように押し広げたときにこれは果たして普通の意味で収束するときの値と一致するのでしょうか?なので次の事を確かめる必要があります.

普通の意味で収束する数列はチェザロ総和可能か??

これは真です.実際に確かめましょう.はじめと同じように数列 $\{c_n\}$ の級数が普通の意味で $s$ に収束するとしましょう.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}c_k=\lim_{n\to\infty}s_n=s$

このとき次が成り立つことは一回生の微積分でやりました( $\varepsilon -\delta$ 論法で示せます.).

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}s_n=s\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\frac{s_0+s_1+\cdots+s_{n-1}}{n}=s$

これよりこの級数は $s$ にチェザロ総和可能であることが分かりました.しかも収束値まで一致します.

それでは.

2016-11-27

三角関数に関する不等式

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.

今回は三角関数に関する不等式を示したいとおもいます.三角形 $ABC$ の角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ について

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

となります.これを面白い方法で示してみましましょう(受験数学では有名な手法なので読者の皆さんは知っていることかも知れませんが,,,).

f:id:otaku_of_suri:20161127201346p:plain

上のような図を書いてみました. $y=\sin x$ の上に角 $A$ ,角 $B$ ,角 $C$ を載せてみましょう.そうするとその３点から三角形が作られますが, $[0,\pi$ ]において $y=\sin x$ は凸関数なので三角形は正弦波はその下に潜り込む形になります.その三角形の重心 $G$ を考えると三角形の重心は必ずその内部にあるので $y$ 座標の大小を比較すれば以下の式が成立します.

$\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}\le \sin\left(\frac{A+B+C}{3}\right)$

$A,B,C$ は三角形の角なので $A+B+C=\pi$ なのでそれを代入すれば

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が得られました.しかしこれは三角形の角がすべて異なるときにしか成り立ちません.二等辺三角形や正三角形の場合は別に考えないと行けません.正三角形の場合は等号が成立するので大丈夫です.二等辺三角形の場合は三角形が線分になりますが線分を $2:1$ に分ける点と $3$ 点の平均となる点が一致するので同様に上の式が成り立つことが分かります.以上より

$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$

が示されました.またこの式から

$\displaystyle\sin A\sin B\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{8}$

も分かります.これは相加平均相乗平均に関する不等式を用いると

$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \sin A+\sin B+\sin C\ge 3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}$

なので左辺と右辺を $3$ で割り, $3$ 乗すると示されます.三角関数に関する不等式は色々な証明方法が知られているので面白いですね.

それでは.

2016-11-27

楕円の極座標表示

よねすけ数学

こんにちは,よねすけです.
今回は楕円の極座標表示の方法について書いてみたいと思います.

f:id:otaku_of_suri:20161127171145p:plain

式 $x^2/a^2+y^2/b^2=1(a\ge b>0)$ で表される楕円を書いてみました.このとき焦点は $e=\sqrt{1-(b/a)^2}$ を用いて, $F(ea,0),F'(-ea,0)$ と書けます。
このような楕円があったときに,極座標においての原点を点 $F$ として図のように考える点と原点との距離を $r$ ,始線(この場合 $x$ 軸の $x\ge ea$ )からの偏角を $\theta$ とします.
点 $(x,y)$ を $A$ と名付け,三角形 $AFF'$ について考えます.余弦定理を用いると